Dado o conjunto A=\{\varnothing,\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\}, diga quais das alternativas abaixo são verdadeiras, sempre justificando suas respostas.
\{\{\varnothing\}\}\subset A.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto A=\{\varnothing,\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\} e pede para decidir se a afirmação
\{\{\varnothing\}\}\subset A
é verdadeira. Informações fornecidas que vamos usar:
  • A é formado por dois elementos: o primeiro elemento é \varnothing e o segundo elemento é \{\varnothing,\{\varnothing\}\}.
  • A expressão a testar é o conjunto \{\{\varnothing\}\}, isto é, um conjunto cuja única elemento é \{\varnothing\}.

Passo 2

Definições essenciais (explicadas devagar para não escapar nada):
  • Dizer que X\subset Y significa: "todo elemento de X é também elemento de Y". Em outras palavras, se x\in X então necessariamente x\in Y.
  • Dizer que x\in Y significa que x é um dos elementos que aparecem listados em Y. Importante: ser elemento de um elemento de Y (isto é, existir z\in Y tal que x\in z) NÃO é o mesmo que ser elemento direto de Y.
  • Um singleton é um conjunto com exatamente um elemento. Por exemplo, \{\{\varnothing\}\} é um singleton cujo único elemento é \{\varnothing\}.

Passo 3

Listar explicitamente os elementos de A (peguei estes dados do enunciado):
  • Primeiro elemento de A: \varnothing.
  • Segundo elemento de A: \{\varnothing,\{\varnothing\}\}.
Agora listar os elementos do segundo elemento (ou seja, os elementos de \{\varnothing,\{\varnothing\}\}):
  • Um elemento é \varnothing.
  • Outro elemento é \{\varnothing\}.

Passo 4

Identificar exatamente o que é necessário para que a afirmação seja verdadeira:
  • O conjunto que testamos, \{\{\varnothing\}\}, tem exatamente um elemento, que é \{\varnothing\}.
  • Portanto, para que \{\{\varnothing\}\}\subset A seja verdadeira, é necessário e suficiente que
\{\varnothing\}\in A.
Isto é, o único elemento de \{\{\varnothing\}\} deve ser elemento direto de A.

Passo 5

Verificar se \{\varnothing\}\in A comparando com os elementos explícitos de A:
  • Comparação com o primeiro elemento de A: \{\varnothing\}\neq\varnothing porque \varnothing é vazio e \{\varnothing\} contém um elemento. Logo \{\varnothing\}\not= \varnothing.
  • Comparação com o segundo elemento de A: \{\varnothing\} tem um único elemento ( \varnothing), enquanto \{\varnothing,\{\varnothing\}\} tem dois elementos ( \varnothing e \{\varnothing\}). Portanto \{\varnothing\}\neq\{\varnothing,\{\varnothing\}\}.
  • Conclusão: \{\varnothing\} não é igual a nenhum dos dois elementos listados de A. Portanto
\{\varnothing\}\notin A.
Observação importante (para não confundir): embora \{\varnothing\} seja elemento do segundo elemento de A (pois \{\varnothing\}\in\{\varnothing,\{\varnothing\}\}), isso NÃO implica que \{\varnothing\}\in A. Ser elemento de um elemento de A é diferente de ser elemento direto de A.

Passo 6

Aplicar a definição de subset com o resultado anterior:
  • Como o único elemento de \{\{\varnothing\}\} (que é \{\varnothing\}) não pertence a A, nem todo elemento de \{\{\varnothing\}\} está em A.
  • Logo a relação de inclusão falha, e a afirmação \{\{\varnothing\}\}\subset A é falsa.

Resposta

Falsa.

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