Dado o conjunto
, diga quais das alternativas abaixo são verdadeiras, sempre justificando suas respostas.
.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e pede para decidir se a afirmação
é verdadeira. Informações fornecidas que vamos usar:
-
é formado por dois elementos: o primeiro elemento é e o segundo elemento é . - A expressão a testar é o conjunto
, isto é, um conjunto cuja única elemento é .
Passo 2
Definições essenciais (explicadas devagar para não escapar nada):
- Dizer que
significa: "todo elemento de é também elemento de ". Em outras palavras, se então necessariamente . - Dizer que
significa que é um dos elementos que aparecem listados em . Importante: ser elemento de um elemento de (isto é, existir tal que ) NÃO é o mesmo que ser elemento direto de . - Um singleton é um conjunto com exatamente um elemento. Por exemplo,
é um singleton cujo único elemento é .
Passo 3
Listar explicitamente os elementos de
(peguei estes dados do enunciado):
- Primeiro elemento de
: . - Segundo elemento de
: .
Agora listar os elementos do segundo elemento (ou seja, os elementos de
):
- Um elemento é
. - Outro elemento é
.
Passo 4
Identificar exatamente o que é necessário para que a afirmação seja verdadeira:
- O conjunto que testamos,
, tem exatamente um elemento, que é . - Portanto, para que
seja verdadeira, é necessário e suficiente que
Isto é, o único elemento de
deve ser elemento direto de
.
Passo 5
Verificar se
comparando com os elementos explícitos de
:
- Comparação com o primeiro elemento de
: porque é vazio e contém um elemento. Logo . - Comparação com o segundo elemento de
: tem um único elemento ( ), enquanto tem dois elementos ( e ). Portanto . - Conclusão:
não é igual a nenhum dos dois elementos listados de . Portanto
Observação importante (para não confundir): embora
seja elemento do segundo elemento de
(pois
), isso NÃO implica que
. Ser elemento de um elemento de
é diferente de ser elemento direto de
.
Passo 6
Aplicar a definição de subset com o resultado anterior:
- Como o único elemento de
(que é ) não pertence a , nem todo elemento de está em . - Logo a relação de inclusão falha, e a afirmação
é falsa.
Resposta
Falsa.