Nos itens a seguir, diga quais condições os elementos
devem cumprir para que a igualdade seja satisfeita.
.
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Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede. Temos a igualdade entre dois conjuntos:
O que se pede: encontrar as condições que
devem satisfazer para que essa igualdade entre conjuntos seja verdadeira.
Passo 2
Lembrete útil (regra de ouro): dois conjuntos são iguais se e somente se têm exatamente os mesmos elementos. Isso significa que cada elemento do conjunto da esquerda deve aparecer no conjunto da direita e vice‑versa. Aqui cada lado é um conjunto com dois elementos (em princípio): um elemento é o conjunto
(à esquerda) e o outro é
; à direita os elementos são
e
. Vou chamar, por simplicidade,
Assim a igualdade é
.
Passo 3
Comparando conjuntos com dois elementos, existem apenas duas formas de os elementos coincidirem (lembrando que a ordem não importa):
- ou
e ; - ou
e (ou seja, os elementos estão trocados entre os lados).
Esses dois casos cobrem todas as possibilidades porque um conjunto com dois elementos tem justamente esses dois elementos — para serem iguais os pares de elementos devem coincidir, possivelmente trocando de lugar.
Passo 4
Agora simplifico a condição
. Lembre que
e
. A igualdade
acontece exatamente quando
. Explico por que:
- Se
então claramente . - Se
, então os elementos dessa dupla coincidem; como aparece em ambos os lados, o outro elemento também deve coincidir, portanto .
Logo.
Passo 5
Traduzindo as duas possibilidades do Passo 3 usando a equivalência do Passo 4, obtemos:
- Caso 1 (elementos na mesma posição):
e , que equivale a
- Caso 2 (elementos trocados):
e , que equivale a
Essas duas alternativas cobrem todas as situações possíveis, inclusive os subcasos em que algum elemento coincide com
(esses subcasos ficam incluídos nas igualdades acima).
Passo 6
Resumo intuitivo: ou os dois pares correspondem elemento a elemento (
com
e
com
), ou há uma troca entre os elementos composta (o elemento
é precisamente o conjunto
e
é o conjunto
). Não existe outra possibilidade sem violar a definição de igualdade de conjuntos.
Resposta
ou