Nos itens a seguir, diga quais condições os elementos a, b, c, d devem cumprir para que a igualdade seja satisfeita.
{\{a, \varnothing\}, b}={\{{c, \varnothing\}, d\}}.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede. Temos a igualdade entre dois conjuntos:
\{\{a,\varnothing\},\,b\}=\{\{c,\varnothing\},\,d\}.
O que se pede: encontrar as condições que a,b,c,d devem satisfazer para que essa igualdade entre conjuntos seja verdadeira.

Passo 2

Lembrete útil (regra de ouro): dois conjuntos são iguais se e somente se têm exatamente os mesmos elementos. Isso significa que cada elemento do conjunto da esquerda deve aparecer no conjunto da direita e vice‑versa. Aqui cada lado é um conjunto com dois elementos (em princípio): um elemento é o conjunto \{a,\varnothing\} (à esquerda) e o outro é b; à direita os elementos são \{c,\varnothing\} e d. Vou chamar, por simplicidade,
X:=\{a,\varnothing\},\qquad Y:=\{c,\varnothing\}.
Assim a igualdade é \{X,b\}=\{Y,d\}.

Passo 3

Comparando conjuntos com dois elementos, existem apenas duas formas de os elementos coincidirem (lembrando que a ordem não importa):
  • ou X=Y e b=d;
  • ou X=d e b=Y (ou seja, os elementos estão trocados entre os lados).
Esses dois casos cobrem todas as possibilidades porque um conjunto com dois elementos tem justamente esses dois elementos — para serem iguais os pares de elementos devem coincidir, possivelmente trocando de lugar.

Passo 4

Agora simplifico a condição X=Y. Lembre que X=\{a,\varnothing\} e Y=\{c,\varnothing\}. A igualdade \{a,\varnothing\}=\{c,\varnothing\} acontece exatamente quando a=c. Explico por que:
  • Se a=c então claramente \{a,\varnothing\}=\{c,\varnothing\}.
  • Se \{a,\varnothing\}=\{c,\varnothing\}, então os elementos dessa dupla coincidem; como \varnothing aparece em ambos os lados, o outro elemento também deve coincidir, portanto a=c.
    Logo X=Y\iff a=c.

Passo 5

Traduzindo as duas possibilidades do Passo 3 usando a equivalência do Passo 4, obtemos:
  • Caso 1 (elementos na mesma posição): X=Y e b=d, que equivale a
a=c\quad\text{e}\quad b=d.
  • Caso 2 (elementos trocados): X=d e b=Y, que equivale a
b=\{c,\varnothing\}\quad\text{e}\quad d=\{a,\varnothing\}.
Essas duas alternativas cobrem todas as situações possíveis, inclusive os subcasos em que algum elemento coincide com \varnothing (esses subcasos ficam incluídos nas igualdades acima).

Passo 6

Resumo intuitivo: ou os dois pares correspondem elemento a elemento ( a com c e b com d), ou há uma troca entre os elementos composta (o elemento b é precisamente o conjunto \{c,\varnothing\} e d é o conjunto \{a,\varnothing\}). Não existe outra possibilidade sem violar a definição de igualdade de conjuntos.

Resposta

a=c e b=d
ou
b=\{c,\varnothing\} e d=\{a,\varnothing\}

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