Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Considere as seguintes afirmações sobre vetores:
.
Considere as seguintes afirmações sobre vetores:
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e o que está dado. O enunciado apresenta a cadeia
e pede para determinar se as igualdades são verdadeiras ou falsas, justificando.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
-
é um vetor genérico (não nos foi dito nada mais sobre ele). -
denota a norma (módulo) do vetor, que devolve um número real não negativo.
As duas igualdades que compõem a cadeia são, separadamente:
-
. -
.
Passo 2
Relembrando a propriedade importante da norma (homogeneidade absoluta): para todo escalar
e todo vetor
vale
Aqui
é um número real e
é o valor absoluto de
. Esta propriedade diz que ao multiplicar um vetor por um escalar, a norma do resultado é o módulo desse escalar vezes a norma do vetor.
Passo 3
Usando a propriedade da norma para verificar a segunda igualdade. Tomando
na propriedade:
Portanto a igualdade
é verdadeira para todo vetor
. Aqui expliquei cada passo: substituí
, usei
, e multipliquei por
.
Passo 4
Agora vamos à primeira igualdade
. Nota-se um aspecto fundamental: o lado esquerdo
é um vetor (produto de escalar por vetor) e o lado direito
é um número real não negativo (norma). Igualdade entre um vetor e um número só pode fazer sentido se estivermos identificando números com vetores de alguma forma especial — o que não foi dito e, em geral, não é permitido em álgebra vetorial. Logo, já por tipo de objeto a igualdade é, em geral, falsa.
Passo 5
Para tornar a falsidade mais concreta, dou um contraexemplo simples em
. Escolha
. Então
Vê-se que
é um vetor, enquanto
é um escalar; claramente
no sentido de igualdade de vetores. Logo a igualdade
é falsa (pelo menos para este
, e portanto não é verdadeira para todo
).
Passo 6
Observação sobre o caso
. Se
então
e
. Mesmo assim, a igualdade direta entre vetor e escalar não é usualmente aceita; embora ambos representem “zero”, são objetos de tipos diferentes (o lado esquerdo é o vetor nulo, o direito é o número real
). Em qualquer caso, a igualdade proposta como identidade para todo
continua sendo falsa.
Resposta
A igualdade
é falsa.
A igualdade é verdadeira.
A igualdade