Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Considere as seguintes afirmações sobre vetores:
5 vec{v}=\|-5 vec{v}\|=5\|vec{v}\|.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e o que está dado. O enunciado apresenta a cadeia
5\vec{v}=\|\,-5\vec{v}\|=5\|\vec{v}\|
e pede para determinar se as igualdades são verdadeiras ou falsas, justificando.
Informações relevantes:
  • \vec{v} é um vetor genérico (não nos foi dito nada mais sobre ele).
  • \|\cdot\| denota a norma (módulo) do vetor, que devolve um número real não negativo.
    As duas igualdades que compõem a cadeia são, separadamente:
  1. 5\vec{v}=\|\,-5\vec{v}\|.
  2. \|\,-5\vec{v}\|=5\|\vec{v}\|.

Passo 2

Relembrando a propriedade importante da norma (homogeneidade absoluta): para todo escalar a e todo vetor \vec{v} vale
\|a\vec{v}\| = |a|\,\|\vec{v}\|.
Aqui a é um número real e |a| é o valor absoluto de a. Esta propriedade diz que ao multiplicar um vetor por um escalar, a norma do resultado é o módulo desse escalar vezes a norma do vetor.

Passo 3

Usando a propriedade da norma para verificar a segunda igualdade. Tomando a=-5 na propriedade:
\|\,-5\vec{v}\| = |{-5}|\,\|\vec{v}\| = 5\|\vec{v}\|.
Portanto a igualdade \|\,-5\vec{v}\|=5\|\vec{v}\| é verdadeira para todo vetor \vec{v}. Aqui expliquei cada passo: substituí a=-5, usei |-5|=5, e multipliquei por \|\vec v\|.

Passo 4

Agora vamos à primeira igualdade 5\vec{v}=\|\,-5\vec{v}\|. Nota-se um aspecto fundamental: o lado esquerdo 5\vec{v} é um vetor (produto de escalar por vetor) e o lado direito \|\,-5\vec{v}\| é um número real não negativo (norma). Igualdade entre um vetor e um número só pode fazer sentido se estivermos identificando números com vetores de alguma forma especial — o que não foi dito e, em geral, não é permitido em álgebra vetorial. Logo, já por tipo de objeto a igualdade é, em geral, falsa.

Passo 5

Para tornar a falsidade mais concreta, dou um contraexemplo simples em \mathbb{R}^2. Escolha \vec{v}=(1,0). Então
5\vec{v} = (5,0), \qquad \|\,-5\vec{v}\| = \|(-5,0)\| = 5, \qquad 5\|\vec{v}\| = 5\cdot 1 = 5.
Vê-se que 5\vec{v}=(5,0) é um vetor, enquanto \|\,-5\vec{v}\|=5 é um escalar; claramente (5,0)\neq 5 no sentido de igualdade de vetores. Logo a igualdade 5\vec{v}=\|\,-5\vec{v}\| é falsa (pelo menos para este \vec v, e portanto não é verdadeira para todo \vec v).

Passo 6

Observação sobre o caso \vec{v}=\vec{0}. Se \vec{v}=\vec{0} então 5\vec{v}=\vec{0} e \|\,-5\vec{v}\|=0. Mesmo assim, a igualdade direta entre vetor e escalar não é usualmente aceita; embora ambos representem “zero”, são objetos de tipos diferentes (o lado esquerdo é o vetor nulo, o direito é o número real 0). Em qualquer caso, a igualdade proposta como identidade para todo \vec v continua sendo falsa.

Resposta

A igualdade 5\vec{v}=\|\,-5\vec{v}\| é falsa.
A igualdade \|\,-5\vec{v}\|=5\|\vec{v}\| é verdadeira.

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