Nos itens a seguir encontre a derivada das funções:
f(x)=\operatorname{tg}\left(\cos \left(x^{2}\right)\right).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\tan\bigl(\cos(x^2)\bigr).
O conteúdo principal é a regra da cadeia para composição tripla: \tan(u), u=\cos(v) e v=x^2.

Passo 2

Derivando o ajuste externo, aplicamos que \displaystyle\frac{d}{du}\bigl[\tan(u)\bigr]=\operatorname{sec}^2(u).
Logo,
f'(x)=\operatorname{sec}^2\bigl(\cos(x^2)\bigr)\;\cdot\;\frac{d}{dx}\bigl[\cos(x^2)\bigr].

Passo 3

Agora derivamos \cos(x^2) usando novamente a regra da cadeia:
\frac{d}{dv}\bigl[\cos(v)\bigr]=-\sin(v), \quad \frac{d}{dx}\bigl[x^2\bigr]=2x.
Assim,
\frac{d}{dx}\bigl[\cos(x^2)\bigr] =-\sin(x^2)\,\cdot\,2x =-2x\sin(x^2).

Passo 4

Substituindo esse resultado em f'(x), obtemos
f'(x) =\operatorname{sec}^2\bigl(\cos(x^2)\bigr)\;\cdot\;\bigl(-2x\sin(x^2)\bigr) =-2x\sin(x^2)\,\operatorname{sec}^2\bigl(\cos(x^2)\bigr).

Resposta

f'(x)=-2x\sin(x^2)\,\operatorname{sec}^2\bigl(\cos(x^2)\bigr).

Exercícios relacionados