Nos itens a seguir encontre a derivada das funções:
f(x)=\sqrt[3]{x^{3}-3 x}-\operatorname{arctg}\left(x^{\frac{1}{7}}\right)\

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\sqrt[3]{\,x^{3}-3x\,}\;-\;\arctan\!\bigl(x^{1/7}\bigr).
Aqui vamos usar a regra da cadeia para a potência fracionária e também a derivada de \arctan(u), que é
\frac{d}{dx}\bigl[\arctan(u)\bigr] =\frac{u'}{1+u^2}.

Passo 2

Defina
u(x)=x^3-3x, \quad f_1(x)=u(x)^{1/3}.
Pela regra da cadeia,
f_1'(x) =\frac{1}{3}\,u(x)^{-2/3}\;u'(x) =\frac{1}{3}\,(x^3-3x)^{-2/3}\;(3x^2-3).

Passo 3

Simplificando o fator \tfrac{1}{3}(3x^2-3), temos
f_1'(x) =(x^2-1)\,(x^3-3x)^{-2/3} =\frac{x^2-1}{\bigl(x^3-3x\bigr)^{2/3}}.

Passo 4

Agora considere
f_2(x)=\arctan\!\bigl(x^{1/7}\bigr).
Aqui u(x)=x^{1/7} e u'(x)=\tfrac{1}{7}x^{-6/7}. Logo,
f_2'(x) =\frac{u'(x)}{1+u(x)^2} =\frac{\frac{1}{7}x^{-6/7}}{1 + x^{2/7}} =\frac{x^{-6/7}}{7\,\bigl(1+x^{2/7}\bigr)}.

Passo 5

Como f(x)=f_1(x)-f_2(x), temos
f'(x) =f_1'(x)-f_2'(x) =\frac{x^2-1}{\bigl(x^3-3x\bigr)^{2/3}} \;-\; \frac{x^{-6/7}}{7\,\bigl(1+x^{2/7}\bigr)}.

Resposta

f'(x) = \frac{x^2-1}{\bigl(x^3-3x\bigr)^{2/3}} \;-\; \frac{x^{-6/7}}{7\,\bigl(1+x^{2/7}\bigr)}.

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