IV- Considere um campo elétrico uniforme \vec{E} cuja direção é exatamente ao longo da direção x . Qual é o fluxo elétrico líquido ( \Phi ) que passa por um cubo de aresta L , presente na região do \vec{E} ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa precisa:
  • Informação: existe um campo elétrico uniforme \vec{E} cuja direção é exatamente ao longo de x. Podemos escrever isso como \vec{E}=E\,\hat{\mathbf{x}}, onde E é a magnitude (constante) do campo.
  • Informação: há um cubo de aresta L imerso nessa região de campo. Cada face do cubo tem área L^{2}.
  • Pedido: calcular o fluxo elétrico líquido \Phi que passa pelo cubo (ou seja, o fluxo total através de todas as seis faces do cubo).

Passo 2

Definição e ferramenta que vamos usar (aula rápida): o fluxo elétrico através de uma superfície S é dado por
\Phi=\iint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{A}.
Aqui:
  • \vec{E} é o campo elétrico (vetor), no nosso caso constante e igual a E\,\hat{\mathbf{x}}.
  • d\vec{A} é o vetor área da superfície: o módulo é um elemento de área dA e a direção é a normal da superfície, apontando para fora do volume fechado.
  • O produto escalar \vec{E}\cdot d\vec{A}=E\,dA\cos\theta mede a componente do campo que “passa” perpendicularmente pela área elementar, onde \theta é o ângulo entre \vec{E} e a normal.
Explicando o dot product de forma simples: se \vec{E} é paralelo à normal e aponta na mesma direção, o produto é positivo e igual a E\,dA; se aponta na direção oposta, o produto é -E\,dA; se é perpendicular, o produto é zero.

Passo 3

Geometria do problema: o cubo tem seis faces. Podemos alinhar o cubo com os eixos coordenados (isso não muda o resultado, pois o campo é uniforme). As normais das faces são:
  • duas faces com normais \pm\hat{\mathbf{x}} (faces perpendiculares ao eixo x), cada uma com área L^{2};
  • duas faces com normais \pm\hat{\mathbf{y}} (perpendiculares a y);
  • duas faces com normais \pm\hat{\mathbf{z}} (perpendiculares a z).
Para as quatro faces cujas normais são \pm\hat{\mathbf{y}} e \pm\hat{\mathbf{z}}, o ângulo entre \vec{E}=E\hat{\mathbf{x}} e a normal é 90^\circ, então \cos 90^\circ=0. Portanto, o fluxo através de cada uma dessas quatro faces é zero:
\Phi_{\text{faces }y,z}=0.

Passo 4

Agora tratamos as duas faces perpendiculares a x. Chame-as de S_{+} (face com normal \hat{\mathbf{x}}) e S_{-} (face com normal -\hat{\mathbf{x}}). Como \vec{E} é constante, o integral sobre cada face simplifica para campo vezes área vezes o cosseno do ângulo:
Para S_{+}: o ângulo é 0^\circ, então
\Phi_{+}=\iint_{S_{+}}\vec{E}\cdot d\vec{A} =\iint_{S_{+}}E\,dA =E\cdot L^{2}.
Para S_{-}: a normal aponta em -\hat{\mathbf{x}}, ângulo 180^\circ, então
\Phi_{-}=\iint_{S_{-}}\vec{E}\cdot d\vec{A} =\iint_{S_{-}}E\cos 180^\circ\,dA =E\cdot(-1)\cdot L^{2} =-E\,L^{2}.
Observe que estou usando a orientação “para fora” do volume para definir o sentido de d\vec{A}; por isso uma face dá sinal positivo e a outra negativo.

Passo 5

Somando todas as contribuições (as quatro faces com fluxo zero e as duas faces em x):
\Phi_{\text{total}}=\Phi_{+}+\Phi_{-}+0+0+0+0 =E\,L^{2}+(-E\,L^{2})=0.
Interpretação física curta e útil para a prova: em um campo uniforme que atravessa um volume fechado como um cubo, o número de linhas de campo que entram é igual ao número que sai, então o fluxo líquido é zero. Pela Lei de Gauss (se quiser lembrar): \Phi_{\text{total}}=Q_{\text{int}}/\varepsilon_{0}. Fluxo zero corresponde a carga líquida interna Q_{\text{int}}=0 (ainda que aqui o enunciado não mencionasse cargas dentro do cubo).

Resposta

\Phi=0

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