IV- Considere um campo elétrico uniforme
cuja direção é exatamente ao longo da direção x . Qual é o fluxo elétrico líquido (
) que passa por um cubo de aresta L , presente na região do
?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa precisa:
- Informação: existe um campo elétrico uniforme
cuja direção é exatamente ao longo de x. Podemos escrever isso como , onde é a magnitude (constante) do campo. - Informação: há um cubo de aresta
imerso nessa região de campo. Cada face do cubo tem área . - Pedido: calcular o fluxo elétrico líquido
que passa pelo cubo (ou seja, o fluxo total através de todas as seis faces do cubo).
Passo 2
Definição e ferramenta que vamos usar (aula rápida): o fluxo elétrico através de uma superfície
é dado por
Aqui:
-
é o campo elétrico (vetor), no nosso caso constante e igual a . -
é o vetor área da superfície: o módulo é um elemento de área e a direção é a normal da superfície, apontando para fora do volume fechado. - O produto escalar
mede a componente do campo que “passa” perpendicularmente pela área elementar, onde é o ângulo entre e a normal.
Explicando o dot product de forma simples: se
é paralelo à normal e aponta na mesma direção, o produto é positivo e igual a
; se aponta na direção oposta, o produto é
; se é perpendicular, o produto é zero.
Passo 3
Geometria do problema: o cubo tem seis faces. Podemos alinhar o cubo com os eixos coordenados (isso não muda o resultado, pois o campo é uniforme). As normais das faces são:
- duas faces com normais
(faces perpendiculares ao eixo ), cada uma com área ; - duas faces com normais
(perpendiculares a ); - duas faces com normais
(perpendiculares a ).
Para as quatro faces cujas normais são
e
, o ângulo entre
e a normal é
, então
. Portanto, o fluxo através de cada uma dessas quatro faces é zero:
Passo 4
Agora tratamos as duas faces perpendiculares a
. Chame-as de
(face com normal
) e
(face com normal
). Como
é constante, o integral sobre cada face simplifica para campo vezes área vezes o cosseno do ângulo:
Para
: o ângulo é
, então
Para
: a normal aponta em
, ângulo
, então
Observe que estou usando a orientação “para fora” do volume para definir o sentido de
; por isso uma face dá sinal positivo e a outra negativo.
Passo 5
Somando todas as contribuições (as quatro faces com fluxo zero e as duas faces em
):
Interpretação física curta e útil para a prova: em um campo uniforme que atravessa um volume fechado como um cubo, o número de linhas de campo que entram é igual ao número que sai, então o fluxo líquido é zero. Pela Lei de Gauss (se quiser lembrar):
. Fluxo zero corresponde a carga líquida interna
(ainda que aqui o enunciado não mencionasse cargas dentro do cubo).