IV. Determine o número de coordenação, o número de átomos da célula unitária e o fator de empacotamento para os seguintes elementos:
Metal Estrutura cristalina
Mn Cubica simples
Mo Cubica centrada no corpo
Au Cubica centrada nas faces
Co Empacotamento compacto hexagonal

Passo 1

O que o enunciado pede: para cada um dos metais da tabela (Mn, Mo, Au, Co) devo determinar três quantidades: (1) o número de coordenação, (2) o número de átomos por célula unitária, e (3) o fator de empacotamento (APF). As informações dadas são apenas a estrutura cristalina de cada metal:
\begin{array}{ll} \text{Mn} & \text{cúbica simples (SC)}\\[4pt] \text{Mo} & \text{cúbica centrada no corpo (BCC)}\\[4pt] \text{Au} & \text{cúbica centrada nas faces (FCC)}\\[4pt] \text{Co} & \text{empacotamento compacto hexagonal (HCP)} \end{array}úúú]

Passo 2

Definições e fórmulas que vamos usar (explicadas com calma):
  • Número de coordenação (CN): é o número de átomos mais próximos (vizinhos imediatos) que tocam um átomo dado. Para um átomo em um cristal, conta-se quantos átomos estão à distância de contato (quando as esferas duras dos átomos se tocam).
  • Número de átomos por célula unitária ( N): soma das contribuições parciais de todos os átomos situados em posições especiais da célula (vértices, faces, arestas, interior). Por exemplo, um átomo em um vértice de cubo pertence a 8 células e contribui com 1/8; um átomo numa face pertence a 2 células e contribui com 1/2; um átomo no interior pertence só a uma célula e contribui com 1.
  • Fator de empacotamento atômico (APF): fração do volume da célula unitária ocupada pelos átomos (modelados como esferas rígidas).
    A fórmula geral é
\text{APF}=\frac{\text{volume total dos átomos na célula}}{\text{volume da célula}}=\frac{N\cdot \tfrac{4}{3}\pi r^{3}}{V_{\text{célula}}},áééé
onde r é o raio atômico efetivo (raio da esfera que representa o átomo) e V_{\text{célula}}é é o volume da célula unitária. Em cada tipo de rede precisamos relacionar a aresta da célula a com r (os átomos se tocam em direções específicas), e então substituir na fórmula acima.

Passo 3

Posição dos átomos: um átomo em cada vértice do cubo (8 vértices).
  1. Número de átomos por célula:
    cada vértice contribui com 1/8, logo
N=8\cdot \tfrac{1}{8}=1.
  1. Número de coordenação:
    num cubo simples cada átomo tem 6 vizinhos (um em cada sentido ao longo dos eixos +\!x,-\!x,+\!y,-\!y,+\!z,-\!z), então
\text{CN}=6.
Raciocínio: os vizinhos imediatos estão nos centros das 6 arestas que saem do átomo; são 6 contatos.
  1. Relação a r:
    no SC os átomos se tocam ao longo da aresta do cubo, então a aresta vale duas vezes o raio:
a=2r.
  1. APF:
    volume da célula V_{\text{célula}}=a^{3}=(2r)^{3}=8r^{3}é.
    volume dos átomos =N\cdot \tfrac{4}{3}\pi r^{3}=\tfrac{4}{3}\pi r^{3}.
    Substituindo,
\text{APF}=\frac{\tfrac{4}{3}\pi r^{3}}{8r^{3}}=\frac{\pi}{6}\approx 0{,}524.

Passo 4

Posição dos átomos: um átomo em cada vértice (8) e um átomo no centro do cubo.
  1. Número de átomos por célula:
    vértices: 8\cdot \tfrac{1}{8}=1, centro: 1\cdot 1=1. Logo
N=1+1=2.
  1. Número de coordenação:
    cada átomo no centro está em contato com os 8 átomos dos vértices; cada átomo de vértice tem 8 vizinhos a distância mínima (os centros de cubos adjacentes), portanto
\text{CN}=8.
  1. Relação a r:
    no BCC os contatos ocorrem ao longo da diagonal do cubo (body diagonal). A diagonal do cubo mede \sqrt{3}\,a e ela atravessa um átomo de vértice, o átomo do centro e o vértice oposto; a distância entre vértices opostos efetivamente corresponde a 4r (do centro de um átomo no vértice até o centro do átomo oposto passando pelo átomo central). Assim
\sqrt{3}\,a=4r \quad\Rightarrow\quad a=\frac{4r}{\sqrt{3}}.
  1. APF:
    volume da célula
V_{\text{célula}}=a^{3}=\left(\frac{4r}{\sqrt{3}}\right)^{3}=\frac{64r^{3}}{3\sqrt{3}}.é
volume dos átomos =N\cdot \tfrac{4}{3}\pi r^{3}=2\cdot \tfrac{4}{3}\pi r^{3}=\tfrac{8}{3}\pi r^{3}.
Substituindo e simplificando:
\text{APF}=\frac{\tfrac{8}{3}\pi r^{3}}{\dfrac{64}{3\sqrt{3}}r^{3}}=\frac{8\pi}{64}\sqrt{3}=\frac{\pi\sqrt{3}}{8}\approx 0{,}680.

Passo 5

Posição dos átomos: um átomo em cada vértice (8) e um átomo no centro de cada face (6).
  1. Número de átomos por célula:
    vértices: 8\cdot \tfrac{1}{8}=1, faces: 6\cdot \tfrac{1}{2}=3. Logo
N=1+3=4.
  1. Número de coordenação:
    no empacotamento FCC cada átomo tem 12 vizinhos mais próximos (o arranjo é mais compacto), então
\text{CN}=12.
  1. Relação a r:
    no FCC os átomos se tocam ao longo da diagonal de uma face. A diagonal de face vale \sqrt{2}\,a e nessa diagonal estão dois raios de um átomo de face mais dois raios do átomo do vértice (no total 4r). Portanto
\sqrt{2}\,a=4r \quad\Rightarrow\quad a=\frac{4r}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\,r.
  1. APF:
    volume da célula
V_{\text{célula}}=a^{3}=(2\sqrt{2}\,r)^{3}=16\sqrt{2}\,r^{3}.é
volume dos átomos =N\cdot \tfrac{4}{3}\pi r^{3}=4\cdot \tfrac{4}{3}\pi r^{3}=\tfrac{16}{3}\pi r^{3}.
Substituindo:
\text{APF}=\frac{\tfrac{16}{3}\pi r^{3}}{16\sqrt{2}\,r^{3}}=\frac{\pi}{3\sqrt{2}}\approx 0{,}740.

Passo 6

Comentário inicial (motivação): o HCP é geometricamente um empacotamento tão eficiente quanto o FCC; ambos têm o mesmo APF e o mesmo número de coordenação. Vou usar o raciocínio por células primitivas e a célula hexagonal convencional.
  1. Número de coordenação:
    em HCP cada átomo toca 12 vizinhos (mesma coordenação que FCC), então
\text{CN}=12.
  1. Número de átomos por célula:
    a célula primitiva do HCP tem 2 átomos. A célula hexagonal convencional (prismática) contém 3 células primitivas, logo
N=2\times 3=6.
(este é o argumento mais simples e seguro: célula primitiva HCP = 2 átomos, célula convencional = 3 primitivas → 6 átomos.)
  1. Relações geométricas e APF:
    no plano basal os átomos se tocam, então a distância entre centros na direção do plano basal é a=2r. Para o empacotamento ideal HCP a razão entre a altura da célula c e a é
\frac{c}{a}=\sqrt{\tfrac{8}{3}}\approx 1{,}633,
valor que garante empacotamento compacto. O volume da célula hexagonal convencional é
V_{\text{célula}}=\left(\text{área da base hexagonal}\right)\cdot c=\frac{3\sqrt{3}}{2}\,a^{2}\,c.éá
Substituindo c=\sqrt{\tfrac{8}{3}}\,a obtemos
V_{\text{célula}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\,a^{2}\cdot\sqrt{\tfrac{8}{3}}\,a =\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot\sqrt{\tfrac{8}{3}}\right)a^{3}.é
Simplificando as constantes (fácil de verificar):
\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot\sqrt{\tfrac{8}{3}}=3\sqrt{2},
logo
V_{\text{célula}}=3\sqrt{2}\,a^{3}.é
Com a=2r isso dá
V_{\text{célula}}=3\sqrt{2}\,(2r)^{3}=24\sqrt{2}\,r^{3}.é
Volume dos átomos na célula =N\cdot \tfrac{4}{3}\pi r^{3}=6\cdot \tfrac{4}{3}\pi r^{3}=8\pi r^{3}.
Portanto
\text{APF}=\frac{8\pi r^{3}}{24\sqrt{2}\,r^{3}}=\frac{\pi}{3\sqrt{2}}\approx 0{,}740.
Observação: esse resultado é o mesmo do FCC — por isso dizemos que FCC e HCP são os empacotamentos mais densos para esferas iguais e têm APF igual.

Resposta

Mn (cúbica simples): \text{CN}=6, N=1, APF =\dfrac{\pi}{6}\approx 0{,}524
Mo (cúbica centrada no corpo): \text{CN}=8, N=2, APF =\dfrac{\pi\sqrt{3}}{8}\approx 0{,}680
Au (cúbica centrada nas faces): \text{CN}=12, N=4, APF =\dfrac{\pi}{3\sqrt{2}}\approx 0{,}740
Co (empacotamento compacto hexagonal): \text{CN}=12, N=6, APF =\dfrac{\pi}{3\sqrt{2}}\approx 0{,}740

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