IV. Determine o número de coordenação, o número de átomos da célula unitária e o fator de empacotamento para os seguintes elementos:
Metal
Estrutura cristalina
Mn
Cubica simples
Mo
Cubica centrada no corpo
Au
Cubica centrada nas faces
Co
Empacotamento compacto hexagonal
| Metal | Estrutura cristalina |
| Mn | Cubica simples |
| Mo | Cubica centrada no corpo |
| Au | Cubica centrada nas faces |
| Co | Empacotamento compacto hexagonal |
Passo 1
O que o enunciado pede: para cada um dos metais da tabela (Mn, Mo, Au, Co) devo determinar três quantidades: (1) o número de coordenação, (2) o número de átomos por célula unitária, e (3) o fator de empacotamento (APF). As informações dadas são apenas a estrutura cristalina de cada metal:
Passo 2
Definições e fórmulas que vamos usar (explicadas com calma):
- Número de coordenação (CN): é o número de átomos mais próximos (vizinhos imediatos) que tocam um átomo dado. Para um átomo em um cristal, conta-se quantos átomos estão à distância de contato (quando as esferas duras dos átomos se tocam).
- Número de átomos por célula unitária (
): soma das contribuições parciais de todos os átomos situados em posições especiais da célula (vértices, faces, arestas, interior). Por exemplo, um átomo em um vértice de cubo pertence a 8 células e contribui com ; um átomo numa face pertence a 2 células e contribui com ; um átomo no interior pertence só a uma célula e contribui com . - Fator de empacotamento atômico (APF): fração do volume da célula unitária ocupada pelos átomos (modelados como esferas rígidas).
A fórmula geral é
onde
é o raio atômico efetivo (raio da esfera que representa o átomo) e
é o volume da célula unitária. Em cada tipo de rede precisamos relacionar a aresta da célula
com
(os átomos se tocam em direções específicas), e então substituir na fórmula acima.
Passo 3
Posição dos átomos: um átomo em cada vértice do cubo (8 vértices).
- Número de átomos por célula:
cada vértice contribui com, logo
- Número de coordenação:
num cubo simples cada átomo tem 6 vizinhos (um em cada sentido ao longo dos eixos), então
Raciocínio: os vizinhos imediatos estão nos centros das 6 arestas que saem do átomo; são 6 contatos.
- Relação
– :
no SC os átomos se tocam ao longo da aresta do cubo, então a aresta vale duas vezes o raio:
- APF:
volume da célula.
volume dos átomos.
Substituindo,
Passo 4
Posição dos átomos: um átomo em cada vértice (8) e um átomo no centro do cubo.
- Número de átomos por célula:
vértices:, centro: . Logo
- Número de coordenação:
cada átomo no centro está em contato com os 8 átomos dos vértices; cada átomo de vértice tem 8 vizinhos a distância mínima (os centros de cubos adjacentes), portanto
- Relação
– :
no BCC os contatos ocorrem ao longo da diagonal do cubo (body diagonal). A diagonal do cubo medee ela atravessa um átomo de vértice, o átomo do centro e o vértice oposto; a distância entre vértices opostos efetivamente corresponde a (do centro de um átomo no vértice até o centro do átomo oposto passando pelo átomo central). Assim
- APF:
volume da célula
volume dos átomos
.
Substituindo e simplificando:
Substituindo e simplificando:
Passo 5
Posição dos átomos: um átomo em cada vértice (8) e um átomo no centro de cada face (6).
- Número de átomos por célula:
vértices:, faces: . Logo
- Número de coordenação:
no empacotamento FCC cada átomo tem 12 vizinhos mais próximos (o arranjo é mais compacto), então
- Relação
– :
no FCC os átomos se tocam ao longo da diagonal de uma face. A diagonal de face valee nessa diagonal estão dois raios de um átomo de face mais dois raios do átomo do vértice (no total ). Portanto
- APF:
volume da célula
volume dos átomos
.
Substituindo:
Substituindo:
Passo 6
Comentário inicial (motivação): o HCP é geometricamente um empacotamento tão eficiente quanto o FCC; ambos têm o mesmo APF e o mesmo número de coordenação. Vou usar o raciocínio por células primitivas e a célula hexagonal convencional.
- Número de coordenação:
em HCP cada átomo toca 12 vizinhos (mesma coordenação que FCC), então
- Número de átomos por célula:
a célula primitiva do HCP tem 2 átomos. A célula hexagonal convencional (prismática) contém 3 células primitivas, logo
(este é o argumento mais simples e seguro: célula primitiva HCP = 2 átomos, célula convencional = 3 primitivas → 6 átomos.)
- Relações geométricas e APF:
no plano basal os átomos se tocam, então a distância entre centros na direção do plano basal é. Para o empacotamento ideal HCP a razão entre a altura da célula e é
valor que garante empacotamento compacto. O volume da célula hexagonal convencional é
Substituindo
obtemos
Simplificando as constantes (fácil de verificar):
logo
Com
isso dá
Volume dos átomos na célula
.
Portanto
Portanto
Observação: esse resultado é o mesmo do FCC — por isso dizemos que FCC e HCP são os empacotamentos mais densos para esferas iguais e têm APF igual.
Resposta
Mn (cúbica simples):
,
, APF
Mo (cúbica centrada no corpo):
,
, APF
Au (cúbica centrada nas faces):
,
, APF
Co (empacotamento compacto hexagonal):
,
, APF