Mostre que a função caracteristica dos racionais definida por
é descontínua em todos os pontos da reta. Use que todo intervalo (não-degenerado) contém números racionais e irracionais
2. Dê exemplo de uma função f que seja descontínua em todos os pontos da reta mas que a função |f| seja contínua em todos os pontos da reta.
3. Mostre que a função x in R mapsto x cdot chiQ(x) é contínua apenas em x=0.
4. Mostre que a função x in R mapsto x^2 cdot chiQ(x) é derivável apenas em x=0.
Passo 1
O enunciado trata de quatro propriedades de funções envolvendo a característica dos racionais chiQ. Vamos usar:
– A densidade de Q e de RsetminusQ em R.
– A definição de continuidade:
limxto x0f(x)=f(x0)
– A definição de derivada:
f'(x0)=limhto0f(x0+h)-f(x0)h
Passo 2
Para mostrar que chiQ é descontínua em todo ponto x0, note que em qualquer intervalo em torno de x0 há números racionais (onde chiQ=1) e irracionais (onde chiQ=0). Logo, tomando sequências xnto x0 com xninQ e ynto x0 com ynnotinQ, obtemos
limntoinftychiQ(xn)=1, limntoinftychiQ(yn)=0
Como esses limites são distintos, não existe limxto x0chiQ(x), e portanto chiQ é descontínua em todo x0inR.
Passo 3
Um exemplo clássico de função
Aqui e em qualquer vizinhança, logo é descontínua em todo . Mas
é constante, e função constante é contínua em toda a reta.
logo g é contínua em 0.
– Se x0neq0, em qualquer vizinhança de x0 pegamos racionais, onde g(x)=xto x0, e irracionais, onde g(x)=0. Esses dois valores-limite são distintos (x0neq0), então g é descontínua em todo x0neq0.
Passo 5
Defina h(x)=x^2,chiQ(x).
– Em x0=0 temos h(0)=0 e
h(h)-h(0)h =h^2,chiQ(h)h =h,chiQ(h)to0 (hto0),
logo h é derivável em 0 com h'(0)=0.
– Se x0neq0, considere dois tipos de incrementos hto0: 1. Se x0+hinQ,
h(x0+h)-h(x0)h =(x0+h)^2-x0^2h =2x0+hto2x0
2. Se x0+hnotinQ,
h(x0+h)-h(x0)h =0-x0^2h =-x0^2h,
que diverge em módulo quando hto0. Como esses dois limites não coincidem (nem ambos finitos), h não é derivável em nenhum x0neq0.
Resposta
(1) chiQ é descontínua em todo R.
(2) Exemplo: f(x)=1 se xinQ, f(x)=-1 se xnotinQ; então f é descontínua em toda a reta e lvert frvertequiv1 é contínua.
(3) A função xmapsto x,chiQ(x) é contínua apenas em x=0.
(4) A função xmapsto x^2,chiQ(x) é derivável apenas em x=0.