-. Indique as sentenças verdadeiras em relação aos conjuntos
e
.
a) Se
e
, então
.
b)
.
c)
e
, então
.
d) Se
e
, então
.
a) Se
b)
c)
d) Se
Passo 1
O enunciado pede para verificar quais sentenças sobre inclusão de conjuntos são verdadeiras. Aqui vamos usar três propriedades clássicas de relações de inclusão:
- Antissimetria: se
e , então . - A existência do conjunto vazio:
é subconjunto de qualquer conjunto. - Transitividade: se
e , então .
Passo 2
Analisando a alternativa (a):
Se e
, pela antissimetria de
concluímos que todos os elementos de
estão em
e vice-versa, logo
Se
Portanto (a) é verdadeira.
Passo 3
Analisando a alternativa (b):
A definição de subconjunto diz que significa “todo elemento de
pertence a
”. Como não há elemento em
, essa condição é sempre satisfeita independentemente de
. Logo
A definição de subconjunto diz que
Portanto (b) é verdadeira.
Passo 4
Analisando a alternativa (c):
Pela transitividade da relação de inclusão, se
Pela transitividade da relação de inclusão, se
então imediatamente temos
Portanto (c) é verdadeira.
Passo 5
Analisando a alternativa (d):
Diz-se que “se e
, então
”. Isso não faz sentido: a inclusão
exige que todos os elementos de
estejam em
, não apenas uma informação sobre um
específico. Por exemplo, seja
Diz-se que “se
Então
e
, mas necessariamente
(pois
). Logo (d) é falsa.
Resposta
As sentenças verdadeiras são (a), (b) e (c).