-. Indique as sentenças verdadeiras em relação aos conjuntos A, B e C.
a) Se A subset B e B subset A, então A=B.
b) forall B Rightarrow varnothing subset B.
c) Se C subset A e A subset B, então C subset B.
d) Se x notin A e x in B, então A subset B.

Passo 1

O enunciado pede para verificar quais sentenças sobre inclusão de conjuntos são verdadeiras. Aqui vamos usar três propriedades clássicas de relações de inclusão:
  1. Antissimetria: se Asubset B e Bsubset A, então A=B.
  2. A existência do conjunto vazio: varnothing é subconjunto de qualquer conjunto.
  3. Transitividade: se Csubset A e Asubset B, então Csubset B.

Passo 2

Analisando a alternativa (a):
Se Asubset B e Bsubset A, pela antissimetria de subset concluímos que todos os elementos de A estão em B e vice-versa, logo
A = B
Portanto (a) é verdadeira.

Passo 3

Analisando a alternativa (b):
A definição de subconjunto diz que varnothingsubset B significa “todo elemento de varnothing pertence a B”. Como não há elemento em varnothing, essa condição é sempre satisfeita independentemente de B. Logo
forall B,;varnothingsubset B
Portanto (b) é verdadeira.

Passo 4

Analisando a alternativa (c):
Pela transitividade da relação de inclusão, se
Csubset A e Asubset B,
então imediatamente temos
Csubset B
Portanto (c) é verdadeira.

Passo 5

Analisando a alternativa (d):
Diz-se que “se xnotin A e xin B, então Asubset B”. Isso não faz sentido: a inclusão Asubset B exige que todos os elementos de A estejam em B, não apenas uma informação sobre um x específico. Por exemplo, seja
A=1, B=2, x=2
Então xnotin A e xin B, mas necessariamente Anotsubset B (pois 1notin B). Logo (d) é falsa.

Resposta

As sentenças verdadeiras são (a), (b) e (c).

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