Em janeiro de 2003 o trabalhador norte-americano passou em média 77 horas conectado à Internet enquanto trabalhava. Suponha que os tempos estejam normalmente distribuídos e que o desvio padrão seja de 20 horas.
a) Qual é a probabilidade de um trabalhador escolhido aleatoriamente passar menos de 50 horas conectado à Internet?
Uma pessoa é classificada como forte usuário se estiver entre os 20 \% que fazem mais uso. Quantas horas um trabalhador deve manter-se conectado à Internet para ser classificado como forte usuário?

Passo 1

O enunciado considera a variável aleatória X = tempo (em horas) que um trabalhador fica conectado à Internet durante o trabalho, que segue uma distribuição normal com média \mu=77 horas e desvio padrão \sigma=20 horas. Vamos:
1. Calcular a probabilidade \Pr(X<50).
2. Encontrar o valor x_0 tal que \Pr(X>x_0)=0,20, ou seja, o percentil de ordem 80\%.

Passo 2

Para \Pr(X<50) padronizamos X em Z\sim N(0,1):
z = \frac{50 - 77}{20} = \frac{-27}{20} = -1,35.
Logo,
\Pr(X<50) = \Pr\bigl(Z < -1,35\bigr).
Pela tabela da normal padrão, \Pr(Z< -1,35)\approx0,0885.

Passo 3

Para achar o limite x_0 que separa os 20\% maiores usos, queremos
\Pr(X>x_0)=0,20 \quad\Longleftrightarrow\quad \Pr(X<x_0)=0,80.
Chamando z_{0{,}80} o quantil de ordem 0,80 de Z, temos z_{0{,}80}\approx0,8416, pois \Pr(Z<0,8416)=0,80.

Passo 4

Agora voltamos à escala de X:
x_0 = \mu + z_{0{,}80}\,\sigma = 77 + 0,8416 \times 20 = 77 + 16,832 \approx 93,83\text{ horas}.

Resposta

(a) \Pr(X<50)\approx0,0885.
(b) O trabalhador deve manter-se conectado cerca de 93,83 horas para ser forte usuário.

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