3.11 Sabe-se que é necessária uma força com um momento de 960 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m} em relação a D para se endireitar o mourão C D. Se a capacidade do guincho A B 2.400 \mathrm{~N}, determine o valor mínimo da distância d para se criar o momento especificado em relação ao ponto D.
Passo 1
O que o problema pede:
Determinar o valor mínimo da distância d para que, usando a capacidade do guincho de 2400\\ \mathrm{N}, se produza um momento (torque) de 960\\ \mathrm{N\cdot m} em relação ao ponto D.
Informações fornecidas (peguei estes dados da imagem enviada):
Momento necessário em relação a D: 960\\ \mathrm{N\cdot m}.
Capacidade máxima do guincho (força na linha): 2400\\ \mathrm{N}.
Altura vertical do ponto C acima do solo (em relação a D): 0,875\\ \mathrm{m}.
Há uma pequena distância horizontal mostrada na figura de 0,2\\ \mathrm{m} (esta é a distância horizontal entre a projeção de C no solo e o ponto D indicada na figura).
A distância d que devemos encontrar é a distância horizontal (na figura) entre o ponto de ancoragem do guincho e o ponto de referência indicado; na resolução a seguir adotarei um sistema de coordenadas que torna d o deslocamento horizontal do ponto de ancoragem em relação a D (ver Passo 3).
Passo 2
Ideia física essencial (fórmula que vamos usar):
O momento (magnitude) em relação a um ponto é dado pelo produto da força pela distância perpendicular entre a linha de ação da força e o ponto. Em símbolos:
M = F\,r_\perp,
onde M é o momento exigido, F é a magnitude da força aplicada e r_\perp é a distância perpendicular entre o ponto (aqui D) e a linha de ação da força (a linha do cabo EC).
Aplicando ao nosso caso: queremos M=960\\ \mathrm{N\cdot m} com F_{\max}=2400\\ \mathrm{N}. Assim o menor r_\perp necessário satisfaz
Ou seja: para que a força máxima do guincho gere o momento requerido, a linha do cabo deve passar a uma distância perpendicular de pelo menos 0,4\\ \mathrm{m} do ponto D.
Passo 3
Geometria e escolha de coordenadas (explico e mostro como traduzir a figura em fórmulas):
Coloco D na origem do sistema de coordenadas: D=(0,0).
Pego da figura a projeção horizontal de C a 0,2\\ \mathrm{m} à direita de D; então C tem coordenadas
(Em notação normal: x_C=0,2\\ \mathrm{m}, y_C=0,875\\ \mathrm{m}.)
Chamo o ponto de ancoragem do guincho de E e tomo sua coordenada como E=(-d,0). Assim d é a distância horizontal de E até D (positivo para a esquerda).
A linha de ação da força é a reta que passa por E=(-d,0) e C=(0,2,\,0,875).
Fórmula para a distância perpendicular de um ponto à reta definida por dois pontos:
A distância perpendicular de D=(0,0) à reta EC pode ser obtida pela área do paralelogramo formado pelos vetores \overrightarrow{DC} e \overrightarrow{DE}:
(A outra raiz dá valor negativo e é descartada por não representar uma distância física positiva.)
Passo 5
Interpretação e verificação rápida:
Com d\approx0,517\\ \mathrm{m} a distância perpendicular calculada via a fórmula do Passo 3 vale 0,4\\ \mathrm{m}, de modo que M=F\cdot r_\perp=2400\cdot0,4=960\\ \mathrm{N\cdot m}. Portanto esse é o menor d que permite atingir o momento pedido usando a força máxima do guincho.