3.11 Sabe-se que é necessária uma força com um momento de 960 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m} em relação a D para se endireitar o mourão C D. Se a capacidade do guincho A B 2.400 \mathrm{~N}, determine o valor mínimo da distância d para se criar o momento especificado em relação ao ponto D.

Passo 1

O que o problema pede:
  • Determinar o valor mínimo da distância d para que, usando a capacidade do guincho de 2400\\ \mathrm{N}, se produza um momento (torque) de 960\\ \mathrm{N\cdot m} em relação ao ponto D.
Informações fornecidas (peguei estes dados da imagem enviada):
  • Momento necessário em relação a D: 960\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Capacidade máxima do guincho (força na linha): 2400\\ \mathrm{N}.
  • Altura vertical do ponto C acima do solo (em relação a D): 0,875\\ \mathrm{m}.
  • Há uma pequena distância horizontal mostrada na figura de 0,2\\ \mathrm{m} (esta é a distância horizontal entre a projeção de C no solo e o ponto D indicada na figura).
  • A distância d que devemos encontrar é a distância horizontal (na figura) entre o ponto de ancoragem do guincho e o ponto de referência indicado; na resolução a seguir adotarei um sistema de coordenadas que torna d o deslocamento horizontal do ponto de ancoragem em relação a D (ver Passo 3).

Passo 2

Ideia física essencial (fórmula que vamos usar):
  • O momento (magnitude) em relação a um ponto é dado pelo produto da força pela distância perpendicular entre a linha de ação da força e o ponto. Em símbolos:
M = F\,r_\perp,
onde M é o momento exigido, F é a magnitude da força aplicada e r_\perp é a distância perpendicular entre o ponto (aqui D) e a linha de ação da força (a linha do cabo EC).
Aplicando ao nosso caso: queremos M=960\\ \mathrm{N\cdot m} com F_{\max}=2400\\ \mathrm{N}. Assim o menor r_\perp necessário satisfaz
r_\perp=\frac{M}{F_{\max}}=\frac{960}{2400}=0,4\\ \mathrm{m}.
Ou seja: para que a força máxima do guincho gere o momento requerido, a linha do cabo deve passar a uma distância perpendicular de pelo menos 0,4\\ \mathrm{m} do ponto D.

Passo 3

Geometria e escolha de coordenadas (explico e mostro como traduzir a figura em fórmulas):
  • Coloco D na origem do sistema de coordenadas: D=(0,0).
  • Pego da figura a projeção horizontal de C a 0,2\\ \mathrm{m} à direita de D; então C tem coordenadas
C=(0,2,\,0,875)\quad\text{ou seja}\quad C=(0,2,\;0,875).
(Em notação normal: x_C=0,2\\ \mathrm{m}, y_C=0,875\\ \mathrm{m}.)
  • Chamo o ponto de ancoragem do guincho de E e tomo sua coordenada como E=(-d,0). Assim d é a distância horizontal de E até D (positivo para a esquerda).
  • A linha de ação da força é a reta que passa por E=(-d,0) e C=(0,2,\,0,875).
Fórmula para a distância perpendicular de um ponto à reta definida por dois pontos:
  • A distância perpendicular de D=(0,0) à reta EC pode ser obtida pela área do paralelogramo formado pelos vetores \overrightarrow{DC} e \overrightarrow{DE}:
r_\perp=\frac{|\overrightarrow{DC}\times\overrightarrow{DE}|}{|\overrightarrow{EC}|}.
No plano (com coordenadas (x,y)) o módulo do “produto vetorial” reduz a
r_\perp=\frac{|x_C y_E - x_E y_C|}{\sqrt{(x_C-x_E)^2+(y_C-y_E)^2}}.
Substituindo x_C=0,2,\\ y_C=0,875,\\ x_E=-d,\\ y_E=0 obtemos (observe que y_E=0 simplifica a expressão):
r_\perp=\frac{|0,2\cdot 0 - (-d)\cdot 0,875|}{\sqrt{(0,2-(-d))^2+(0,875-0)^2}} =\frac{0,875\,d}{\sqrt{(d+0,2)^2+0,875^2}}.

Passo 4

Impor a condição do Passo 2 e resolver para d:
  • Requerimos r_\perp=0,4\\ \mathrm{m}. Então
\frac{0,875\,d}{\sqrt{(d+0,2)^2+0,875^2}}=0,4.
  • Isolando a raiz e elevando ao quadrado:
0,875^2 d^2 = 0,4^2\big((d+0,2)^2+0,875^2\big).
  • Calculemos os números passo a passo:
0,875^2=0,765625,\qquad 0,4^2=0,16.
Substituindo:
0,765625\,d^2 = 0,16\big((d+0,2)^2+0,765625\big).
  • Expandindo o lado direito:
0,765625\,d^2 = 0,16(d^2+0,4d+0,04)+0,16\cdot0,765625.
0,765625\,d^2 = 0,16d^2+0,064d+0,0064+0,1225.
0,765625\,d^2 = 0,16d^2+0,064d+0,1289.
  • Passando todos os termos para o lado esquerdo:
(0,765625-0,16)d^2 -0,064d -0,1289=0.
0,605625\,d^2 -0,064d -0,1289=0.
  • Aplicando a fórmula de Bhaskara ( d=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}) com a=0,605625,\\ b=-0,064,\\ c=-0,1289:
d=\frac{0,064\pm\sqrt{0,064^2+4\cdot0,605625\cdot0,1289}}{2\cdot0,605625}.
  • Calculando o discriminante:
0,064^2=0,004096,
4\cdot0,605625\cdot0,1289\approx0,31226025,
\text{discriminante}\approx0,004096+0,31226025=0,31635625,
\sqrt{\text{discriminante}}\approx0,56256.
  • Assim a raiz positiva é
d=\frac{0,064+0,56256}{1,21125}\approx\frac{0,62656}{1,21125}\approx0,517\\ \mathrm{m}.
(A outra raiz dá valor negativo e é descartada por não representar uma distância física positiva.)

Passo 5

Interpretação e verificação rápida:
  • Com d\approx0,517\\ \mathrm{m} a distância perpendicular calculada via a fórmula do Passo 3 vale 0,4\\ \mathrm{m}, de modo que M=F\cdot r_\perp=2400\cdot0,4=960\\ \mathrm{N\cdot m}. Portanto esse é o menor d que permite atingir o momento pedido usando a força máxima do guincho.

Resposta

d=0,517\\ \text{m}

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