- João comprou um carro com motor flex. Quando foi abastecer pela primeira vez, pediu para colocar no tanque 20 litros de álcool e 20 litros de gasolina, pagando um total de R$120, 00 . Cinco dias depois, no mesmo posto, decidiu alterar a proporção do combustível, pedindo para colocar no tanque 10 litros de álcool e 30 litros de gasolina, pagando um total de R$ 130, 00 . Sabendo-se que o preço do combustível no posto não sofreu alteração, o preço da gasolina é igual a:
a)
3,40$
b)
3,45$
c)
3,50$
d)
3,55$
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado nos dá duas situações de abastecimento e pede para encontrar o preço da gasolina. Dados fornecidos:
- Na primeira vez: foram colocados
litros de álcool e litros de gasolina, pagando-se um total de . - Na segunda vez: foram colocados
litros de álcool e litros de gasolina, pagando-se um total de .
O que se quer: determinar o preço por litro da gasolina (usar os dados acima e assumir que os preços não mudaram).
Passo 2
Vamos traduzir o problema para equações usando variáveis (isto ajuda a transformar a informação em matemática que dá para resolver).
- Seja
o preço do álcool por litro (em reais). - Seja
o preço da gasolina por litro (em reais).
Cada situação vira uma equação do tipo “quantidade vezes preço = valor pago”.
- Primeira situação:
litros de álcool e litros de gasolina custam . Isso dá a equação
- Segunda situação:
litros de álcool e litros de gasolina custam . Isso dá a equação
Essas duas equações formam um sistema linear com incógnitas
e
.
Passo 3
Antes de resolver, simplificamos as equações para facilitar os cálculos (dividir por
é uma boa ideia porque todos os coeficientes são múltiplos de
).
Dividindo a primeira equação por :
Dividindo a primeira equação por
Dividindo a segunda equação por
:
Agora observe que da primeira simplificada podemos dividir por
ou reescrever diretamente:
Portanto temos o sistema equivalente mais simples:
Pequena explicação didática: reduzir os coeficientes facilita as contas e evita trabalhar com números grandes. Aqui passeramos de coeficientes 20 e 10 para 2 e 1 — muito mais manejável numa prova sem calculadora.]
Passo 4
Agora resolvemos o sistema por eliminação (técnica simples: eliminar uma incógnita subtraindo equações).
Subtraindo a primeira equação da segunda (isto é, ):
Subtraindo a primeira equação da segunda (isto é,
No lado esquerdo,
cancela com
e fica
. No lado direito,
. Logo obtemos:
Breve explicação sobre eliminação: ao subtrair equações que têm a mesma incógnita com o mesmo coeficiente, essa incógnita some, sobrando uma equação só com a outra incógnita, que aí fica fácil de achar.
Passo 5
Isolando
na equação
:
Transformando a fração em decimal (sem usar ponto decimal; usamos vírgula conforme convenção):
Como estamos falando de reais por litro, escrevemos em formato monetário:
.
Explicação final curta:
. Para formato de moeda normalmente coloca-se duas casas decimais:
.
Resposta
c)