Calcule os limites a seguir justificando cada passagem.
(b) \lim _{x \rightarrow-2} \frac{x^{3}+2 x^{2}-1}{5-3 x}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá a expressão cujo limite devemos calcular quando x se aproxima de -2:
\frac{x^{3}+2x^{2}-1}{5-3x}.
  • Pede o valor de \displaystyle\lim_{x\to -2}\frac{x^{3}+2x^{2}-1}{5-3x}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O numerador é o polinômio x^{3}+2x^{2}-1.
  • O denominador é a função linear 5-3x.
  • O ponto de interesse é x=-2.

Passo 2

Ideia do método e justificativa teórica usada (explicada de forma didática):
  • Conceito essencial: uma função f é contínua em um ponto c quando \displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=f\text{(c)}.
    Isso significa que, se uma função é contínua em c, podemos calcular o limite simplesmente avaliando a função em c.
  • Fatos que vamos usar (e por que valem):
    1. Polinômios são funções contínuas em todo ponto real. Um polinômio é uma soma finita de termos a_k x^k, e operações de soma e multiplicação preservam continuidade; portanto nenhum problema de limite interno aparece.
    2. Funções lineares ax+b também são contínuas em todos os pontos.
    3. Regra para quociente: se f e g são contínuas em c e g\text{(c)}\neq 0, então a função f/g é contínua em c e vale
    \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f\text{(c)}}{g\text{(c)}}.
    Aqui f será o numerador x^{3}+2x^{2}-1 e g o denominador 5-3x.
  • Conclusão do plano: calcular f(-2) e g(-2). Se g(-2)\neq 0, então o limite é \dfrac{f(-2)}{g(-2)}.

Passo 3

Calcule f(-2), ou seja, avalie o numerador em x=-2.
  • O numerador é x^{3}+2x^{2}-1. Substituindo x=-2:
(-2)^{3}+2(-2)^{2}-1.
  • Calcule termo a termo:
    • (-2)^{3} = -8.
    • (-2)^{2} = 4, então 2\cdot 4 = 8.
  • Somando:
-8 + 8 - 1 = -1.
  • Logo f(-2) = -1.

Passo 4

Calcule g(-2), ou seja, avalie o denominador em x=-2.
  • O denominador é 5-3x. Substituindo x=-2:
5 - 3(-2).
  • Calcule:
    • 3(-2) = -6, então 5 - 3(-2) = 5 - (-6) = 5 + 6 = 11.
  • Assim g(-2)=11, que é diferente de zero.

Passo 5

Concluir o limite usando a continuidade do quociente:
  • Pelo que vimos, tanto o numerador quanto o denominador são contínuos em x=-2, e o denominador avaliado em -2 é 11\neq 0. Portanto a função quociente é contínua em -2 e
\lim_{x\to -2}\frac{x^{3}+2x^{2}-1}{5-3x}=\frac{f(-2)}{g(-2)}=\frac{-1}{11}.

Resposta

-\dfrac{1}{11}

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