Calcule os limites a seguir justificando cada passagem.
(b)
(b)
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dá a expressão cujo limite devemos calcular quando
se aproxima de :
- Pede o valor de
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O numerador é o polinômio
. - O denominador é a função linear
. - O ponto de interesse é
.
Passo 2
Ideia do método e justificativa teórica usada (explicada de forma didática):
-
Conceito essencial: uma função
é contínua em um ponto quando .
Isso significa que, se uma função é contínua em, podemos calcular o limite simplesmente avaliando a função em . -
Fatos que vamos usar (e por que valem):
- Polinômios são funções contínuas em todo ponto real. Um polinômio é uma soma finita de termos
, e operações de soma e multiplicação preservam continuidade; portanto nenhum problema de limite interno aparece. - Funções lineares
também são contínuas em todos os pontos. - Regra para quociente: se
e são contínuas em e , então a função é contínua em e vale
Aquiserá o numerador e o denominador . - Polinômios são funções contínuas em todo ponto real. Um polinômio é uma soma finita de termos
-
Conclusão do plano: calcular
e . Se , então o limite é .
Passo 3
Calcule
, ou seja, avalie o numerador em
.
- O numerador é
. Substituindo :
- Calcule termo a termo:
-
. -
, então .
-
- Somando:
- Logo
.
Passo 4
Calcule
, ou seja, avalie o denominador em
.
- O denominador é
. Substituindo :
- Calcule:
-
, então .
-
- Assim
, que é diferente de zero.
Passo 5
Concluir o limite usando a continuidade do quociente:
- Pelo que vimos, tanto o numerador quanto o denominador são contínuos em
, e o denominador avaliado em é . Portanto a função quociente é contínua em e