João e Izabel decidiram verificar o consumo de energia elétrica (kWh) em sua residência ao longo de 12 meses. As observações são dadas por:
X={605,637,305,448,448,457,534,544,544,544,544,545\}
Com base nesses dados, responda:
Determine o desvio-padrão amostral do consumo de energia elétrica.

Passo 1

O enunciado fornece as 12 observações do consumo mensal (em kWh):
X=\{605,637,305,448,448,457,534,544,544,544,544,545\}.
A pergunta é explícita: determinar o desvio-padrão amostral do consumo de energia elétrica com base nesses dados. Vou usar todas as observações fornecidas e apresentar o cálculo passo a passo para chegar ao valor final.

Passo 2

Primeiro calculemos a média amostral \bar{X}. Somando todas as observações:
\sum_{i=1}^{12} x_i = 6155.
Como o tamanho da amostra é n=12,
\bar{X}=\frac{6155}{12}\approx 512,9167.
Explicando: a média é o valor “central” dos dados; somamos todos os consumos e dividimos pelo número de meses para saber o consumo médio mensal.

Passo 3

Agora a definição do desvio-padrão amostral e por que usamos essa fórmula. O desvio-padrão amostral s mede a dispersão dos valores em torno da média na amostra. A fórmula que vamos usar é a fórmula padrão para desvio-padrão amostral (estimador não-viesado da variância):
s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{X})^2}.
Aqui:
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=12).
  • x_i são as observações.
  • \bar{X} é a média amostral.
    Usamos n-1 (graus de liberdade) em vez de n para obter uma estimativa não-viesada da variância populacional quando a média é estimada a partir da própria amostra.

Passo 4

Vamos calcular a soma dos quadrados dos desvios de forma exata para evitar erros de arredondamento. Note que
x_i-\bar{X}=\frac{12x_i-6155}{12}.
Então
\sum_{i=1}^{12}(x_i-\bar{X})^2=\frac{1}{144}\sum_{i=1}^{12}(12x_i-6155)^2.
Calculemos 12x_i-6155 para cada observação e seus quadrados (peguei os x_i da lista fornecida):
\begin{array}{ll} x_1=605:\;12x_1-6155=1105,\quad 1105^2=1\,221\,025,\\[2pt] x_2=637:\;12x_2-6155=1489,\quad 1489^2=2\,217\,121,\\[2pt] x_3=305:\;12x_3-6155=-2495,\quad (-2495)^2=6\,225\,025,\\[2pt] x_4=448:\;12x_4-6155=-779,\quad (-779)^2=606\,841,\\[2pt] x_5=448:\;12x_5-6155=-779,\quad (-779)^2=606\,841,\\[2pt] x_6=457:\;12x_6-6155=-671,\quad (-671)^2=450\,241,\\[2pt] x_7=534:\;12x_7-6155=253,\quad 253^2=64\,009,\\[2pt] x_8=544:\;12x_8-6155=373,\quad 373^2=139\,129,\\[2pt] x_9=544:\;12x_9-6155=373,\quad 373^2=139\,129,\\[2pt] x_{10}=544:\;12x_{10}-6155=373,\quad 373^2=139\,129,\\[2pt] x_{11}=544:\;12x_{11}-6155=373,\quad 373^2=139\,129,\\[2pt] x_{12}=545:\;12x_{12}-6155=385,\quad 385^2=148\,225. \end{array}
Somando esses quadrados obtemos
\sum_{i=1}^{12}(12x_i-6155)^2 = 12\,095\,844.
Portanto a soma dos quadrados dos desvios é
\sum_{i=1}^{12}(x_i-\bar{X})^2=\frac{12\,095\,844}{144}=83\,998{,}916666\ldots]

Passo 5

Agora calculamos a variância amostral s^2 dividindo pela quantidade de graus de liberdade n-1=11:
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{X})^2=\frac{83\,998{,}916666\ldots}{11}=7\,636{,}2651515\ldots
Explicando: essa é a variância estimada a partir da amostra — a média (quadrática) das dispersões em torno da média, ajustada por n-1.

Passo 6

Finalmente, o desvio-padrão amostral é a raiz quadrada da variância:
s=\sqrt{7\,636{,}2651515\ldots}\approx 87{,}386\\ \text{kWh}.
Arredondando de forma prática (duas casas decimais) para reportar o resultado com precisão adequada para consumo mensal:
s\approx 87{,}39\\ \text{kWh}.
Comentário motivador: isso significa que, tipicamente, os consumos mensais variam cerca de \pm 87{,}39 kWh em torno da média; não é um valor pequeno, mas agora você já sabe como calcular passo a passo — fica mais fácil repetir isso em outras questões!

Resposta

87{,}39\\ \text{kWh}

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