Joga-se uma pedra diretamente para baixo com uma velocidade inicial de 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine
(a) sua distância do solo após t segundos.
(b) quando ela atinge o solo.
(c) a velocidade com que atinge o solo.

Passo 1

O enunciado diz que lançamos uma pedra diretamente para baixo com velocidade inicial de 5\\ \mathrm{m/s} a partir de uma altura inicial que vamos chamar de H em relação ao solo. O movimento é uniformemente acelerado devido à gravidade g\approx9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}. Vamos:
  • definir um referencial com origem no solo e eixo vertical para cima positivo;
  • escrever a equação horária da posição;
  • determinar o instante em que a posição vale zero (atinge o solo);
  • obter a velocidade naquele instante.

Passo 2

No referencial escolhido a posição vertical da pedra em função do tempo satisfaz
y(0)=H,\quad v(0)=-5\\ \mathrm{m/s},\quad a=-g.
Como a velocidade inicial é para baixo, tomamos v(0)=-5. A equação da posição é
y(t)=H + v(0)\,t + \tfrac12\,a\,t^2 =H -5\,t -\tfrac12\,g\,t^2.

Passo 3

Para achar o tempo de impacto, impomos y(t)=0:
H -5\,t -\tfrac12\,g\,t^2=0 \;\Longrightarrow\; \tfrac12\,g\,t^2+5\,t - H=0.
Pela fórmula de Bhaskara,
t =\frac{-5 \pm \sqrt{5^2 +2gH}}{g}.
Como o tempo tem de ser positivo, ficamos com
t_{\text{impacto}} =\frac{\sqrt{5^2 +2gH}-5}{g}.

Passo 4

A velocidade em função do tempo é a derivada de y(t) ou, diretamente,
v(t)=v(0)+a\,t=-5 - g\,t.
No instante de impacto t=t_{\text{impacto}}, a velocidade vale
v_{\text{impacto}} =-5 \;-\;g\;\frac{\sqrt{5^2+2gH}-5}{g} =-\,\sqrt{5^2+2gH}.
O módulo da velocidade de impacto é \sqrt{5^2+2gH}, apontando para baixo.

Resposta

(a) y(t)=H -5\,t -\dfrac12\,g\,t^2.
(b) t_{\text{impacto}}=\dfrac{\sqrt{5^2+2\,g\,H}-5}{g}.
(c) v_{\text{impacto}}=-\sqrt{5^2+2\,g\,H} (módulo \sqrt{5^2+2\,g\,H}, sentido para baixo).

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