Um jogador de futebol chuta uma bola para o alto de modo que ela demora 4.5 s antes de tocar o chão a 45.7 m à frente. Se a bola deixar o pé do jogador a 1.52 m acima do solo. qual será a sua velocidade inicial (módulo, direção e sentido)?
Passo 1
Beleza! Vamos dar uma olhada no que você precisa resolver. O enunciado nos conta que um jogador de futebol chuta a bola para o alto, e a bola demora 4,5 segundos para tocar o chão novamente, percorrendo uma distância horizontal de 45,7 metros. Além disso, a bola sai do pé do jogador a 1,52 metros acima do solo. Nosso objetivo aqui é descobrir qual foi a velocidade inicial da bola, tanto em módulo (ou seja, o tamanho da velocidade), quanto na direção e sentido.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento sem considerar suas causas. Vamos dividir o movimento da bola em duas partes: o movimento horizontal e o movimento vertical. Assim, podemos tratar cada direção separadamente e depois juntar as informações para encontrar a velocidade inicial total.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o movimento horizontal. No caso horizontal, a única velocidade envolvida é a que a bola tem no instante do chute, já que não há aceleração horizontal (a menos que consideremos o atrito do ar, mas vamos ignorar isso para simplificar).
Sabemos que a distância horizontal percorrida é de 45,7 metros e o tempo total de voo é de 4,5 segundos. A fórmula básica para distância em movimento retilíneo uniforme (MRU) é:
Onde:
- $ d $ é a distância,
- $ v_x $ é a velocidade horizontal,
- $ t $ é o tempo.
Queremos encontrar $ v_x $, então rearranjamos a fórmula:
Então, a velocidade horizontal inicial é aproximadamente 10,16 m/s.
Passo 3
Agora, vamos para o movimento vertical. Aqui, a bola não se move com velocidade constante porque a gravidade está agindo sobre ela, causando uma aceleração. Precisamos considerar a posição inicial, a velocidade inicial vertical e a aceleração da gravidade.
A fórmula que relaciona a posição vertical $ y $ com o tempo $ t $ é:
Onde:
- $ y $ é a posição final (no nosso caso, 0 porque a bola toca o chão),
- $ y_0 $ é a posição inicial (1,52 m),
- $ v_{y0} $ é a velocidade inicial vertical que queremos encontrar,
- $ a $ é a aceleração (a gravidade, que é aproximadamente -9,81 m/s², o sinal negativo indica que a aceleração é para baixo),
- $ t $ é o tempo total de voo (4,5 s).
Substituindo os valores na fórmula:
Vamos resolver essa equação para $ v_{y0} $.
Primeiro, calculamos a parte da aceleração:
Agora, substituímos de volta na equação:
Então, a velocidade vertical inicial é aproximadamente 21,69 m/s para cima.
Passo 4
Agora que temos as componentes horizontal e vertical da velocidade inicial ($ v_x $ e $ v_{y0} $), podemos encontrar a velocidade inicial total da bola usando o Teorema de Pitágoras, já que as duas componentes são perpendiculares.
A fórmula para a velocidade inicial $ v_0 $ é:
Substituindo os valores:
Então, o módulo da velocidade inicial é aproximadamente 23,94 m/s.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a direção da velocidade inicial, ou seja, o ângulo $ \theta $ que a velocidade faz com a horizontal. Para isso, usamos a função trigonométrica tangente, que relaciona as componentes vertical e horizontal:
Calculando o ângulo:
Então, o ângulo de lançamento é de aproximadamente 65,0 graus acima da horizontal.
Resposta
A velocidade inicial da bola é de aproximadamente 23,94 m/s, lançada em um ângulo de 65,0 graus acima da horizontal.