- Um jogador de futebol chuta uma bola, de massa
, que está inicialmente em repouso. O pé do jogador fica em contato com a bola por
e a força do chute é dada por
para
, em que t está em segundos. Determine o módulo (a) do impulso sobre a bola devido ao chute, (b) da força média exercida pelo pé do jogador sobre a bola durante o contato, (c) da força máxima exercida pelo pé do jogador sobre a bola durante o contato e (d) da velocidade da bola imediatamente após perder o contato com o pé do jogador.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que ele pede (peguei todos os números do enunciado):
- Massa da bola:
. - Tempo de contato do pé com a bola:
. - Força aplicada como função do tempo (para
):
onde
está em segundos.
- Condição inicial: a bola está inicialmente em repouso, isto é
.
O enunciado pede:
(a) o módulo do impulso sobre a bola devido ao chute;
(b) a força média exercida durante o contato;
(c) a força máxima exercida durante o contato;
(d) a velocidade da bola imediatamente após perder o contato com o pé.
(a) o módulo do impulso sobre a bola devido ao chute;
(b) a força média exercida durante o contato;
(c) a força máxima exercida durante o contato;
(d) a velocidade da bola imediatamente após perder o contato com o pé.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando como se aprende na prova):
- Impulso: o impulso
de uma força variável durante um intervalo de tempo é a integral da força no tempo:
Unidade de
é
. Fisicamente,
é a mudança de quantidade de movimento (momento linear) do objeto:
.
- Relação com velocidade: a quantidade de movimento é
. Como a bola parte do repouso, . Portanto, após o contato:
- Força média: a força média durante o intervalo
é definida por
- Força máxima: como
é uma função polinomial (aqui um polinômio quadrático com coeficiente negativo em ), a força máxima no intervalo interno ocorre onde a derivada é zero (vértice da parábola). Para verificar, basta calcular e checar se a raiz cai em .
Agora aplicamos estas fórmulas com os números do enunciado.
Passo 3
Calcular o impulso
fazendo a integral de
de
até
.
Integramos termo a termo:
Substituindo
:
Agora os termos:
Portanto
Passo 4
Força média
. Usando
:
Interpretação: se a força fosse constante com esse valor médio durante o tempo de contato, produziria o mesmo impulso.
Passo 5
Força máxima
. Primeiro encontramos o instante em que
é máximo no interior do intervalo tomando a derivada:
Zerando
:
Esse instante está dentro do intervalo
, logo é o ponto de máximo. Calculamos
:
Calcule os termos:
Portanto
Passo 6
Velocidade final
. Como a bola parte do repouso, o impulso
iguala
:
Interpretação física: o chute imprime um impulso de
, que acelera a bola até
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)