1. Um jogador de futebol chuta uma bola, de massa 0,45 \mathrm{~kg}, que está inicialmente em repouso. O pé do jogador fica em contato com a bola por 3,0 \times 10^{-3} s e a força do chute é dada por F(t)=\left[\left(6,0 \times 10^{6}\right) t-\left(2,0 \times 10^{9}\right) t^{2}\right] N para 0 \leq t \leq 3,0 \times 10^{-3} s, em que t está em segundos. Determine o módulo (a) do impulso sobre a bola devido ao chute, (b) da força média exercida pelo pé do jogador sobre a bola durante o contato, (c) da força máxima exercida pelo pé do jogador sobre a bola durante o contato e (d) da velocidade da bola imediatamente após perder o contato com o pé do jogador.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que ele pede (peguei todos os números do enunciado):
  • Massa da bola: m=0{,}45\\ \mathrm{kg}.
  • Tempo de contato do pé com a bola: T=3{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{s}.
  • Força aplicada como função do tempo (para 0\le t\le T):
F(t)=\bigl[(6{,}0\times10^{6})\,t-(2{,}0\times10^{9})\,t^{2}\bigr]\\ \mathrm{N},
onde t está em segundos.
  • Condição inicial: a bola está inicialmente em repouso, isto é v(0)=0.
O enunciado pede:
(a) o módulo do impulso sobre a bola devido ao chute;
(b) a força média exercida durante o contato;
(c) a força máxima exercida durante o contato;
(d) a velocidade da bola imediatamente após perder o contato com o pé.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando como se aprende na prova):
  • Impulso: o impulso J de uma força variável F(t) durante um intervalo de tempo [0,T] é a integral da força no tempo:
J=\int_{0}^{T}F(t)\,dt.
Unidade de J é \mathrm{N\cdot s}. Fisicamente, J é a mudança de quantidade de movimento (momento linear) do objeto: J=\Delta p.
  • Relação com velocidade: a quantidade de movimento é p=m v. Como a bola parte do repouso, \Delta p = m v(T)-m v(0)=m v(T). Portanto, após o contato:
v(T)=\frac{J}{m}.
  • Força média: a força média durante o intervalo [0,T] é definida por
\bar{F}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}F(t)\,dt=\frac{J}{T}.
  • Força máxima: como F(t) é uma função polinomial (aqui um polinômio quadrático com coeficiente negativo em t^2), a força máxima no intervalo interno ocorre onde a derivada F'(t) é zero (vértice da parábola). Para verificar, basta calcular F'(t) e checar se a raiz cai em [0,T].
Agora aplicamos estas fórmulas com os números do enunciado.

Passo 3

Calcular o impulso J fazendo a integral de F(t) de 0 até T.
J=\int_{0}^{T}\bigl[(6{,}0\times10^{6})\,t-(2{,}0\times10^{9})\,t^{2}\bigr]\,dt.
Integramos termo a termo:
J=\left[\frac{6{,}0\times10^{6}}{2}\,t^{2}-\frac{2{,}0\times10^{9}}{3}\,t^{3}\right]_{0}^{T}.
Substituindo T=3{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{s}:
T^{2}=(3{,}0\times10^{-3})^{2}=9{,}0\times10^{-6}, \qquad T^{3}=(3{,}0\times10^{-3})^{3}=27{,}0\times10^{-9}=2{,}7\times10^{-8}.
Agora os termos:
\frac{6{,}0\times10^{6}}{2}\,T^{2}=3{,}0\times10^{6}\times9{,}0\times10^{-6}=27{,}0
\frac{2{,}0\times10^{9}}{3}\,T^{3}=\frac{2{,}0\times10^{9}}{3}\times2{,}7\times10^{-8} =6{,}666\ldots\times10^{8}\times2{,}7\times10^{-8}=18{,}0
Portanto
J=27{,}0-18{,}0=9{,}0\\ \mathrm{N\cdot s}.

Passo 4

Força média \bar{F}. Usando \bar{F}=J/T:
\bar{F}=\frac{9{,}0\\ \mathrm{N\cdot s}}{3{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{s}} = \frac{9{,}0}{3{,}0\times10^{-3}}=3{,}0\times10^{3}\\ \mathrm{N}.
Interpretação: se a força fosse constante com esse valor médio durante o tempo de contato, produziria o mesmo impulso.

Passo 5

Força máxima F_{\max}. Primeiro encontramos o instante em que F(t) é máximo no interior do intervalo tomando a derivada:
F(t)=(6{,}0\times10^{6})\,t-(2{,}0\times10^{9})\,t^{2},
F'(t)=6{,}0\times10^{6}-2\cdot(2{,}0\times10^{9})\,t =6{,}0\times10^{6}-4{,}0\times10^{9}\,t.
Zerando F'(t):
6{,}0\times10^{6}-4{,}0\times10^{9}\,t=0 \quad\Rightarrow\quad t_{\text{máx}}=\frac{6{,}0\times10^{6}}{4{,}0\times10^{9}}=1{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{s}.á
Esse instante está dentro do intervalo [0,3{,}0\times10^{-3}], logo é o ponto de máximo. Calculamos F(t_{\text{máx}})á:
F_{\max}=F(1{,}5\times10^{-3}) =(6{,}0\times10^{6})(1{,}5\times10^{-3})-(2{,}0\times10^{9})(1{,}5\times10^{-3})^{2}.
Calcule os termos:
(6{,}0\times10^{6})(1{,}5\times10^{-3})=9{,}000,
(1{,}5\times10^{-3})^{2}=2{,}25\times10^{-6}, \qquad (2{,}0\times10^{9})\times2{,}25\times10^{-6}=4{,}500.
Portanto
F_{\max}=9{,}000-4{,}500=4{,}500\\ \mathrm{N}=4{,}5\times10^{3}\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Velocidade final v(T). Como a bola parte do repouso, o impulso J iguala m v:
v=\frac{J}{m}=\frac{9{,}0\\ \mathrm{N\cdot s}}{0{,}45\\ \mathrm{kg}}=20\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação física: o chute imprime um impulso de 9{,}0\\ \mathrm{N\cdot s}, que acelera a bola até 20\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

(a) \,9{,}0\\ \mathrm{N\cdot s}
(b) \,3{,}0\times10^{3}\\ \mathrm{N}
(c) \,4{,}5\times10^{3}\\ \mathrm{N}
(d) \,20\\ \mathrm{m/s}

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