Um jogador de futebol chuta uma bola do topo de uma colina de 25 metros de altura, com uma velocidade de 72 km / h a um ângulo de 30 circ com a horizontal. Considere g=10 m / s^2
0,6
Com que velocidade a bola atinge o solo?

Passo 1

Vamos resolver o problema onde um jogador de futebol chuta uma bola do topo de uma colina de 25 metros de altura com uma velocidade de 72 , km/h a um ângulo de 30^circ com a horizontal. O conteúdo que iremos utilizar aqui é o movimento projetil, que faz parte da matéria de cinemática. Precisaremos dividir a velocidade inicial em suas componentes horizontal e vertical, calcular o tempo que a bola leva para atingir o solo e, por fim, determinar a velocidade com que a bola atinge o chão.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a velocidade inicial de 72 , km/h para metros por segundo ( m/s), já que as outras medidas estão em metros e segundos. Sabemos que:
1 , km/h = 1000 , m3600 , s approx 0,2778 , m/s
Então,
72 , km/h times 0,2778 , ms approx 20 , m/s
Portanto, a velocidade inicial u é de aproximadamente 20 , m/s.

Passo 3

Agora, vamos dividir essa velocidade inicial em suas componentes horizontal ( ux) e vertical ( uy). Isso é importante porque no movimento projetil, a componente horizontal permanece constante (desde que não haja resistência do ar), enquanto a componente vertical é afetada pela gravidade.
Usamos as funções trigonométricas seno e cosseno para isso:
ux = u cdot cos(theta)
uy = u cdot sin(theta)
Onde theta = 30^circ.
Calculando:
ux = 20 , m/s cdot cos(30^circ) approx 20 , m/s cdot 0,8660 approx 17,32 , m/s
uy = 20 , m/s cdot sin(30^circ) = 20 , m/s cdot 0,5 = 10 , m/s

Passo 4

Vamos agora analisar o movimento vertical da bola. A bola é lançada para cima com uma velocidade inicial vertical de 10 , m/s a partir de uma altura de 25 , m. Queremos saber qual será a velocidade vertical ( vy) da bola quando ela atingir o solo.
Usaremos a seguinte equação do movimento uniformemente variado:
vy^2 = uy^2 + 2 cdot a cdot De
Onde:
  • vy é a velocidade vertical final,
  • uy = 10 , m/s é a velocidade vertical inicial,
  • a = g = 10 , m/s^2 é a aceleração devido à gravidade,
  • De é a variação de altura (negativo porque a bola desce).
Substituindo os valores:
vy^2 = (10)^2 + 2 cdot 10 cdot (-25) = 100 - 500 = -400
Como vy^2 não pode ser negativo, isso indica que a bola alcança o solo antes de a velocidade vertical se tornar zero (ou seja, a bola não para no ar). Para evitar confusões, vamos usar outra abordagem para encontrar vy.

Passo 5

Vamos calcular o tempo que a bola leva para atingir o solo. Utilizaremos a seguinte equação da posição no movimento vertical:
De
Substituindo os valores:
-25 = 10 cdot t - 5 cdot t^2
Reorganizando:
5 cdot t^2 - 10 cdot t - 25 = 0
Dividindo todos os termos por 5:
t^2 - 2t - 5 = 0
Resolvendo esta equação quadrática pela fórmula de Bhaskara:
t = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 1 cdot (-5)2 cdot 1 = 2 pm raiz4 + 202 = 2 pm raiz242 = 2 pm 4,8992
Considerando apenas a solução positiva:
t approx 2 + 4,8992 approx 3,449 , s

Passo 6

Agora que temos o tempo de voo, podemos encontrar a velocidade vertical final usando:
vy = uy - g cdot t
Substituindo:
vy = 10 , m/s - 10 , m/s^2 cdot 3,449 , s approx 10 - 34,49 approx -24,49 , m/s
O sinal negativo indica que a velocidade está dirigida para baixo.

Passo 7

Finalmente, para encontrar a velocidade total com que a bola atinge o solo, combinamos as componentes horizontal e vertical usando o teorema de Pitágoras:
v = raizvx^2 + vy^2
Substituindo os valores:
v = raiz(17,32)^2 + (-24,49)^2 approx raiz300 + 600 = raiz900 = 30 , m/s

Resposta

A bola atinge o solo com uma velocidade de 30 metros por segundo.

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