Um jogador de futebol chuta uma bola do topo de uma colina de 25 metros de altura, com uma velocidade de
a um ângulo de
com a horizontal. Considere
0,6
Com que velocidade a bola atinge o solo?
0,6
Com que velocidade a bola atinge o solo?
Passo 1
Vamos resolver o problema onde um jogador de futebol chuta uma bola do topo de uma colina de 25 metros de altura com uma velocidade de
a um ângulo de
com a horizontal. O conteúdo que iremos utilizar aqui é o movimento projetil, que faz parte da matéria de cinemática. Precisaremos dividir a velocidade inicial em suas componentes horizontal e vertical, calcular o tempo que a bola leva para atingir o solo e, por fim, determinar a velocidade com que a bola atinge o chão.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a velocidade inicial de
para metros por segundo (
), já que as outras medidas estão em metros e segundos. Sabemos que:
Então,
Portanto, a velocidade inicial
é de aproximadamente
.
Passo 3
Agora, vamos dividir essa velocidade inicial em suas componentes horizontal (
) e vertical (
). Isso é importante porque no movimento projetil, a componente horizontal permanece constante (desde que não haja resistência do ar), enquanto a componente vertical é afetada pela gravidade.
Usamos as funções trigonométricas seno e cosseno para isso:
Onde
.
Calculando:
Passo 4
Vamos agora analisar o movimento vertical da bola. A bola é lançada para cima com uma velocidade inicial vertical de
a partir de uma altura de
. Queremos saber qual será a velocidade vertical (
) da bola quando ela atingir o solo.
Usaremos a seguinte equação do movimento uniformemente variado:
Onde:
-
é a velocidade vertical final, -
é a velocidade vertical inicial, -
é a aceleração devido à gravidade, -
é a variação de altura (negativo porque a bola desce).
Substituindo os valores:
Como
não pode ser negativo, isso indica que a bola alcança o solo antes de a velocidade vertical se tornar zero (ou seja, a bola não para no ar). Para evitar confusões, vamos usar outra abordagem para encontrar
.
Passo 5
Vamos calcular o tempo que a bola leva para atingir o solo. Utilizaremos a seguinte equação da posição no movimento vertical:
Substituindo os valores:
Reorganizando:
Dividindo todos os termos por 5:
Resolvendo esta equação quadrática pela fórmula de Bhaskara:
Considerando apenas a solução positiva:
Passo 6
Agora que temos o tempo de voo, podemos encontrar a velocidade vertical final usando:
Substituindo:
O sinal negativo indica que a velocidade está dirigida para baixo.
Passo 7
Finalmente, para encontrar a velocidade total com que a bola atinge o solo, combinamos as componentes horizontal e vertical usando o teorema de Pitágoras:
Substituindo os valores:
Resposta
A bola atinge o solo com uma velocidade de 30 metros por segundo.