Jogo dos erros: encontre os erros nas “equivalências” abaixo. Em cada uma delas há uma implicação que não vale e você deve encontrá-la. Lembre-se de que, para invalidar a veracidade de uma sentença, basta encontrar um exemplo para o qual ela não seja válida. O exemplo deve ser explícito. No que segue, a, b, x, y \in \mathbb{R}.
(d) \sin \alpha=\sin \beta \Longleftrightarrow \alpha=\beta.

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre a implicação que não vale na “equivalência”
\sin \alpha = \sin \beta \Longleftrightarrow \alpha = \beta.
Dados relevantes: \alpha,\beta \in \mathbb{R}.
Objetivo: identificar qual das duas direções da equivalência (ou seja, qual implicação) é falsa e fornecer um contra‑exemplo explícito (valores concretos de \alpha e \beta que mostrem a falsidade).

Passo 2

Vamos lembrar propriedades básicas da função seno que nos ajudam a analisar quando duas senos são iguais.
  • Periodicidade: para todo t\in\mathbb{R} e todo inteiro k,
\sin(t+2k\pi)=\sin t.
Isto significa que acrescentar múltiplos inteiros de 2\pi não altera o valor do seno.
  • Simetria: para todo t\in\mathbb{R},
\sin(\pi - t)=\sin t.
Isto diz que o seno de um ângulo e o seno do seu suplemento (o ângulo que soma \pi) são iguais.
Essas duas observações já sugerem que há situações em que \sin\alpha=\sin\beta mas \alpha\neq\beta.

Passo 3

Agora vou derivar a condição geral (a descrição completa) para \sin\alpha=\sin\beta. Começo escrevendo a diferença
\sin\alpha-\sin\beta=0.
Usando a fórmula de soma e diferença para senos (fórmula conhecida: \sin u-\sin v = 2\cos\!\bigl(\frac{u+v}{2}\bigr)\sin\!\bigl(\frac{u-v}{2}\bigr)), com u=\alpha e v=\beta, obtemos a igualdade em forma fatorada:
2\cos\!\biggl(\frac{\alpha+\beta}{2}\biggr)\sin\!\biggl(\frac{\alpha-\beta}{2}\biggr)=0.
Aqui cada parte significa:
  • \cos\!\bigl(\tfrac{\alpha+\beta}{2}\bigr) é o cosseno da média aritmética dos ângulos \alpha e \beta.
  • \sin\!\bigl(\tfrac{\alpha-\beta}{2}\bigr) é o seno da metade da diferença entre \alpha e \beta.
Para o produto ser zero, pelo menos um dos fatores deve ser zero. Assim temos duas possibilidades.

Passo 4

Resolver cada fator igual a zero:
  1. Se \sin\!\bigl(\tfrac{\alpha-\beta}{2}\bigr)=0, então
\frac{\alpha-\beta}{2}=k\pi \quad\text{para algum }k\in\mathbb{Z},
pois o seno é zero nos múltiplos de \pi. Multiplicando por 2:
\alpha-\beta=2k\pi \quad\Rightarrow\quad \alpha=\beta+2k\pi.
Isto corresponde à periodicidade: \alpha e \beta diferem por um múltiplo inteiro de 2\pi.
  1. Se \cos\!\bigl(\tfrac{\alpha+\beta}{2}\bigr)=0, então
\frac{\alpha+\beta}{2}=\frac{\pi}{2}+k\pi \quad\text{para algum }k\in\mathbb{Z},
pois o cosseno é zero em \frac{\pi}{2}+k\pi. Multiplicando por 2:
\alpha+\beta=\pi+2k\pi \quad\Rightarrow\quad \alpha=\pi-\beta+2k\pi.
Isto corresponde à simetria em relação ao suplemento, combinada com a periodicidade.
Portanto, a condição necessária e suficiente para \sin\alpha=\sin\beta é:
\text{ou } \alpha=\beta+2k\pi,\quad\text{ou } \alpha=\pi-\beta+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.

Passo 5

Interpretação e identificação da implicação falsa:
  • A implicação \alpha=\beta \Longrightarrow \sin\alpha=\sin\beta é verdadeira (se dois ângulos são iguais, seus senos são iguais).
  • A implicação \sin\alpha=\sin\beta \Longrightarrow \alpha=\beta é, em geral, falsa, porque existem as outras possibilidades listadas no passo anterior (por exemplo \alpha=\pi-\beta ou \alpha=\beta+2\pi, com k\neq 0, etc.).
Para invalidar a implicação basta um contra‑exemplo explícito.

Passo 6

Contra‑exemplo explícito (valores concretos que mostram a falha):
Escolho
\alpha=\frac{\pi}{6},\qquad \beta=\frac{5\pi}{6}.
Calculo os senos:
\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2},\qquad \sin\!\left(\frac{5\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}.
Logo \sin\alpha=\sin\beta. No entanto,
\alpha=\frac{\pi}{6}\neq\frac{5\pi}{6}=\beta.
Portanto \sin\alpha=\sin\beta não implica \alpha=\beta.

Passo 7

Observação final (como “consertar” a afirmação): se for imposta uma restrição de domínio onde o seno é injetivo (por exemplo restringir \alpha,\beta ao intervalo \left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right], onde \sin é estritamente crescente), então a implicação \sin\alpha=\sin\beta \Rightarrow \alpha=\beta passa a ser verdadeira. Sem restrição de domínio, a implicação é falsa por causa da periodicidade e da simetria do seno já explicadas.

Resposta

A implicação que não vale é \sin\alpha=\sin\beta \Rightarrow \alpha=\beta. Contra‑exemplo: \alpha=\dfrac{\pi}{6},\\ \beta=\dfrac{5\pi}{6}, pois \sin\alpha=\sin\beta=\dfrac{1}{2} mas \alpha\neq\beta.

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