Jogo dos erros: encontre os erros nas “equivalências” abaixo. Em cada uma delas há uma implicação que não vale e você deve encontrá-la. Lembre-se de que, para invalidar a veracidade de uma sentença, basta encontrar um exemplo para o qual ela não seja válida. O exemplo deve ser explícito. No que segue,
.
(d)
.
(d)
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre a implicação que não vale na “equivalência”
.
Dados relevantes: .
Objetivo: identificar qual das duas direções da equivalência (ou seja, qual implicação) é falsa e fornecer um contra‑exemplo explícito (valores concretos de e
que mostrem a falsidade).
Dados relevantes:
Objetivo: identificar qual das duas direções da equivalência (ou seja, qual implicação) é falsa e fornecer um contra‑exemplo explícito (valores concretos de
Passo 2
Vamos lembrar propriedades básicas da função seno que nos ajudam a analisar quando duas senos são iguais.
- Periodicidade: para todo
e todo inteiro ,
Isto significa que acrescentar múltiplos inteiros de
não altera o valor do seno.
- Simetria: para todo
,
Isto diz que o seno de um ângulo e o seno do seu suplemento (o ângulo que soma
) são iguais.
Essas duas observações já sugerem que há situações em que
mas
.
Passo 3
Agora vou derivar a condição geral (a descrição completa) para
. Começo escrevendo a diferença
Usando a fórmula de soma e diferença para senos (fórmula conhecida:
), com
e
, obtemos a igualdade em forma fatorada:
Aqui cada parte significa:
-
é o cosseno da média aritmética dos ângulos e . -
é o seno da metade da diferença entre e .
Para o produto ser zero, pelo menos um dos fatores deve ser zero. Assim temos duas possibilidades.
Passo 4
Resolver cada fator igual a zero:
- Se
, então
pois o seno é zero nos múltiplos de
. Multiplicando por
:
Isto corresponde à periodicidade:
e
diferem por um múltiplo inteiro de
.
- Se
, então
pois o cosseno é zero em
. Multiplicando por
:
Isto corresponde à simetria em relação ao suplemento, combinada com a periodicidade.
Portanto, a condição necessária e suficiente para
é:
Passo 5
Interpretação e identificação da implicação falsa:
- A implicação
é verdadeira (se dois ângulos são iguais, seus senos são iguais). - A implicação
é, em geral, falsa, porque existem as outras possibilidades listadas no passo anterior (por exemplo ou , com , etc.).
Para invalidar a implicação basta um contra‑exemplo explícito.
Passo 6
Contra‑exemplo explícito (valores concretos que mostram a falha):
Escolho
Calculo os senos:
Logo
. No entanto,
Portanto
não implica
.
Passo 7
Observação final (como “consertar” a afirmação): se for imposta uma restrição de domínio onde o seno é injetivo (por exemplo restringir
ao intervalo
, onde
é estritamente crescente), então a implicação
passa a ser verdadeira. Sem restrição de domínio, a implicação é falsa por causa da periodicidade e da simetria do seno já explicadas.
Resposta
A implicação que não vale é
. Contra‑exemplo:
, pois
mas
.