Jogo dos erros: encontre os erros nas “equivalências” abaixo. Em cada uma delas há uma implicação que não vale e você deve encontrá-la. Lembre-se de que, para invalidar a veracidade de uma sentença, basta encontrar um exemplo para o qual ela não seja válida. O exemplo deve ser explícito. No que segue, a, b, x, y \in \mathbb{R}.
(e) x>1 \Longleftrightarrow|x|>1.

Passo 1

O enunciado dá a “equivalência”
x>1 \Longleftrightarrow |x|>1,
com x\in\mathbb{R}, e pede para encontrar qual das implicações que compõem essa equivalência é falsa. Vou listar claramente o que é pedido: identificar qual direção
x>1 \Rightarrow |x|>1 \qquad\text{ou}\qquad |x|>1 \Rightarrow x>1
não vale em \mathbb{R}, justificando com um contraexemplo explícito.

Passo 2

Lembrete didático: definição e propriedades básicas do valor absoluto.
  • A definição de valor absoluto é
|x|=\begin{cases} x, & \text{se } x\ge0,\\[4pt] -x, & \text{se } x<0. \end{cases}
  • Consequência importante: a desigualdade |x|>1 significa que a distância de x até 0 é maior que 1. Portanto
|x|>1 \iff x>1 \text{ ou } x<-1.
Mostrei isso porque, se x\ge0 então |x|=x e |x|>1 vira x>1; se x<0 então |x|=-x e |x|>1 vira -x>1, ou seja x<-1.]

Passo 3

Verificação da implicação x>1 \Rightarrow |x|>1.
  • Se x>1, então x>0, logo pela definição |x|=x.
  • Assim |x|=x>1.
    Portanto esta implicação é verdadeira para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 4

Verificação da implicação |x|>1 \Rightarrow x>1.
  • Como mostrei no Passo 2, |x|>1 permite duas possibilidades: x>1 ou x<-1.
  • Logo, a afirmação " |x|>1 implica x>1" falha quando x<-1.
  • Contraexemplo explícito: tome x=-2. Então
|x|=|-2|=2>1,
porém
x=-2\not>1.
Assim a implicação |x|>1 \Rightarrow x>1 é falsa, e um contraexemplo explícito é x=-2.

Passo 5

Conclusão clara e incentivadora: só uma das direções da equivalência original é válida. A direção correta é x>1\Rightarrow|x|>1. A direção oposta não vale porque |x|>1 inclui também os x menores que -1; por isso a equivalência dada no enunciado é falsa.

Resposta

A implicação falsa é |x|>1 \Rightarrow x>1. Um contraexemplo: x=-2, pois |-2|=2>1 mas -2\not>1.

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