Um jogo de videogame simula uma partida de paintball entre dois pelotões virtuais. Nesse tipo de jogo, cada competidor comanda um pelotão de soldados virtuais munidos, cada um, de uma arma de paintball, que lança bolinhas cheias de tinta que estouram ao acertar o alvo. Quando um dos soldados virtuais é atingido por uma bolinha, seu corpo é marcado pela tinta, o que faz esse soldado ser eliminado do jogo. O tempo de jogo é estabelecido pelos dois competidores. Ao final desse tempo, será vencedor aquele que tiver o menor número de soldados virtuais eliminados. João e Maria iniciaram uma partida desse jogo com o mesmo número de soldados em cada um dos dois pelotões. Ao final da partida, o pelotão de João havia perdido 6 soldados a mais que o de Maria; e o número de soldados remanescentes do Pelotão de Maria havia diminuído em relação ao início, mas era o dobro do número de soldados remanescentes do pelotão de João. Qual é o menor número possível de soldados de cada pelotão no início da partida?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dois pelotões começaram a partida com o mesmo número de soldados cada um.
  • Ao final:
    • O pelotão de João havia perdido 6 soldados a mais que o de Maria.
    • O número de soldados remanescentes do pelotão de Maria diminuiu em relação ao início (ou seja, Maria perdeu pelo menos 1 soldado).
    • O número de soldados remanescentes do pelotão de Maria era o dobro do número de soldados remanescentes do pelotão de João.
  • Pergunta: qual é o menor número possível de soldados que cada pelotão tinha no início da partida?

Passo 2

Vamos traduzir o enunciado em variáveis (isso ajuda a montar equações simples que podemos resolver).
  • Seja N o número de soldados com que cada pelotão começou (temos que encontrar o menor N possível, inteiro e positivo).
  • Seja J o número de soldados que o pelotão de João perdeu durante a partida.
  • Seja M o número de soldados que o pelotão de Maria perdeu durante a partida.
Notas sobre as variáveis:
  • Os remanescentes de João são N-J.
  • Os remanescentes de Maria são N-M.
  • Como perdas são contagens, J e M são inteiros com 0 \le M \le N e 0 \le J \le N. Além disso, o enunciado diz que Maria perdeu pelo menos 1 soldado, então M \ge 1.

Passo 3

Escrevemos as equações que vêm diretamente do enunciado.
  1. “João perdeu 6 soldados a mais que Maria” vira
J = M + 6.
  1. “Os remanescentes de Maria são o dobro dos remanescentes de João” vira
N - M = 2\bigl(N - J\bigr).
Agora substituímos a equação (1) na equação (2) para eliminar J. Substituindo J = M + 6 em (2) obtemos
N - M = 2\bigl(N - (M+6)\bigr).
Expandindo o lado direito:
N - M = 2\bigl(N - M - 6\bigr) = 2N - 2M - 12.
Colocando todos os termos num lado (subtraindo N - M de ambos os lados):
0 = (2N - 2M - 12) - (N - M) = N - M - 12.
Logo
N - M = 12.
Dessa relação segue imediatamente
M = N - 12.
Usando J = M + 6 obtemos
J = (N - 12) + 6 = N - 6.

Passo 4

Aplicamos as restrições de integridade e plausibilidade (perdas não podem ser negativas, Maria teve de perder pelo menos 1 soldado, e tudo é inteiro).
  • Da expressão M = N - 12 e da condição M \ge 1 (Maria perdeu pelo menos um soldado), vem
N - 12 \ge 1 \quad\Rightarrow\quad N \ge 13.
  • Além disso, M \le N e J \le N são automaticamente satisfeitas para N\ge 13:
    • M = N-12 \le N é óbvio;
    • J = N-6 \le N também é óbvio.
  • Procuramos o menor inteiro N que satisfaça tudo isso: portanto N_{\min} = 13.
Vamos checar N=13 para confirmar que tudo bate:
  • M = N - 12 = 13 - 12 = 1. Maria perdeu 1 soldado (portanto diminuiu, como pedido).
  • J = N - 6 = 13 - 6 = 7. João perdeu 7 soldados, que é exatamente 6 a mais que Maria ( 7 = 1 + 6).
  • Remanescentes: Maria tem 13-1=12, João tem 13-7=6. E 12 é o dobro de 6. Tudo consistente.
Observação: valores maiores de N também satisfazem as equações, mas a pergunta pede o menor número possível, que é 13.

Passo 5

Resumo didático do método (para usar na prova):
  • Defina uma variável para o número inicial comum ( N) e variáveis para as perdas ( J e M).
  • Traduza cada frase do enunciado em uma equação algebraica simples.
  • Substitua para eliminar variáveis e resolva a equação resultante.
  • Verifique as condições (inteiros, não negativos, e eventuais condições extras do enunciado como “diminuiu”).
  • Cheque o menor N inteiro que satisfaz todas as condições e faça uma verificação final numérica.

Resposta

13 soldados

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