Um jogo de videogame simula uma partida de paintball entre dois pelotões virtuais. Nesse tipo de jogo, cada competidor comanda um pelotão de soldados virtuais munidos, cada um, de uma arma de paintball, que lança bolinhas cheias de tinta que estouram ao acertar o alvo. Quando um dos soldados virtuais é atingido por uma bolinha, seu corpo é marcado pela tinta, o que faz esse soldado ser eliminado do jogo. O tempo de jogo é estabelecido pelos dois competidores. Ao final desse tempo, será vencedor aquele que tiver o menor número de soldados virtuais eliminados. João e Maria iniciaram uma partida desse jogo com o mesmo número de soldados em cada um dos dois pelotões. Ao final da partida, o pelotão de João havia perdido 6 soldados a mais que o de Maria; e o número de soldados remanescentes do Pelotão de Maria havia diminuído em relação ao início, mas era o dobro do número de soldados remanescentes do pelotão de João. Qual é o menor número possível de soldados de cada pelotão no início da partida?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Dois pelotões começaram a partida com o mesmo número de soldados cada um.
- Ao final:
- O pelotão de João havia perdido
soldados a mais que o de Maria. - O número de soldados remanescentes do pelotão de Maria diminuiu em relação ao início (ou seja, Maria perdeu pelo menos
soldado). - O número de soldados remanescentes do pelotão de Maria era o dobro do número de soldados remanescentes do pelotão de João.
- O pelotão de João havia perdido
- Pergunta: qual é o menor número possível de soldados que cada pelotão tinha no início da partida?
Passo 2
Vamos traduzir o enunciado em variáveis (isso ajuda a montar equações simples que podemos resolver).
- Seja
o número de soldados com que cada pelotão começou (temos que encontrar o menor possível, inteiro e positivo). - Seja
o número de soldados que o pelotão de João perdeu durante a partida. - Seja
o número de soldados que o pelotão de Maria perdeu durante a partida.
Notas sobre as variáveis:
- Os remanescentes de João são
. - Os remanescentes de Maria são
. - Como perdas são contagens,
e são inteiros com e . Além disso, o enunciado diz que Maria perdeu pelo menos soldado, então .
Passo 3
Escrevemos as equações que vêm diretamente do enunciado.
- “João perdeu
soldados a mais que Maria” vira
- “Os remanescentes de Maria são o dobro dos remanescentes de João” vira
Agora substituímos a equação (1) na equação (2) para eliminar
. Substituindo
em (2) obtemos
Expandindo o lado direito:
Colocando todos os termos num lado (subtraindo
de ambos os lados):
Logo
Dessa relação segue imediatamente
Usando
obtemos
Passo 4
Aplicamos as restrições de integridade e plausibilidade (perdas não podem ser negativas, Maria teve de perder pelo menos
soldado, e tudo é inteiro).
- Da expressão
e da condição (Maria perdeu pelo menos um soldado), vem
- Além disso,
e são automaticamente satisfeitas para : -
é óbvio; -
também é óbvio.
-
- Procuramos o menor inteiro
que satisfaça tudo isso: portanto .
Vamos checar
para confirmar que tudo bate:
-
. Maria perdeu soldado (portanto diminuiu, como pedido). -
. João perdeu soldados, que é exatamente a mais que Maria ( ). - Remanescentes: Maria tem
, João tem . E é o dobro de . Tudo consistente.
Observação: valores maiores de
também satisfazem as equações, mas a pergunta pede o menor número possível, que é
.
Passo 5
Resumo didático do método (para usar na prova):
- Defina uma variável para o número inicial comum (
) e variáveis para as perdas ( e ). - Traduza cada frase do enunciado em uma equação algebraica simples.
- Substitua para eliminar variáveis e resolva a equação resultante.
- Verifique as condições (inteiros, não negativos, e eventuais condições extras do enunciado como “diminuiu”).
- Cheque o menor
inteiro que satisfaz todas as condições e faça uma verificação final numérica.