A predação ou predatismo é um tipo de relação ecológica em que um indivíduo de uma espécie (predador) se alimenta de outro de uma espécie diferente (presa).
Por exemplo, nas savanas africanas, o leão é um dos predadores das zebras. Embora pareça cruel, essa relação é fundamental para a preservação das espécies. Imagine se nas savanas africanas fossem eliminados todos os animais carnívoros. A população de herbívoros, como as zebras, cresceria desordenadamente, o que acarretaria no extermínio dos vegetais e, consequentemente, no extermínio da população de herbívoros. Raciocínio análogo pode ser feito supondose a eliminação das presas dos carnívoros. A natureza, por si só, mantém o ponto de equilíbrio, preservando as espécies de predadores e de presas, porém a interferência do ser humano tem causado a extinção de muitas espécies. Suponha que no ano de 1900 , em determinada região, as populações de leões e de zebras, juntas, tinham 2.200 indivíduos e n anos depois a população de leões havia dobrado e a de zebras havia aumentado 10 indivíduos por ano, totalizando, juntas, 3.250 animais. Quando isso ocorreu, um biólogo alertou para o risco de extinção das zebras, pois havia apenas 50 zebras a mais que leões. Em que ano isso ocorreu e quantos leões e quantas zebras havia, então, na região?

Passo 1

O enunciado dá uma situação com populações de leões e zebras numa região em 1900 e pede: em que ano, após 1900, ocorreu uma certa situação e quantos leões e quantas zebras havia então. Informação fornecida (tudo extraído do enunciado):
  • Em 1900 as populações juntas de leões e zebras somavam 2200 indivíduos.
  • Passados n anos (ou seja, no ano 1900+n):
    • a população de leões havia dobrado (isto é, ficou duas vezes a população de leões em 1900);
    • a população de zebras havia aumentado 10 indivíduos por ano (ou seja, aumento de 10n em relação a 1900);
    • juntas, as populações somavam 3250 animais.
  • Nessa mesma ocasião o biólogo observou que havia apenas 50 zebras a mais que leões (isto é, número de zebras era 50 maior que o número de leões).
    O que o problema pede:
  1. Determinar o ano em que isso ocorreu (ou seja, achar n e então 1900+n).
  2. Determinar quantos leões e quantas zebras havia naquele ano.

Passo 2

Definir variáveis de forma clara (isso facilita montar as equações).
  • Seja L_0 a população de leões em 1900.
  • Seja Z_0 a população de zebras em 1900.
  • Seja n o número de anos após 1900 até a situação descrita.
    Explicação prática: escolher variáveis para as populações iniciais permite traduzir frases como “dobrou” e “aumentou 10 por ano” em equações simples.

Passo 3

Traduzir as frases em equações matemáticas (cada frase vira uma equação).
  • "Em 1900 as populações juntas somavam 2200" vira
L_0 + Z_0 = 2200.
  • “Depois de n anos as leões haviam dobrado” significa que, naquele ano, a população de leões era
L = 2L_0.
  • “Depois de n anos as zebras haviam aumentado 10 por ano” significa
Z = Z_0 + 10n.
  • "Naquele ano, juntas, totalizavam 3250" dá
L + Z = 3250.
Substituindo L e Z pelas expressões acima obtemos uma equação em L_0, Z_0, n:
2L_0 + (Z_0 + 10n) = 3250.
  • “Havia apenas 50 zebras a mais que leões” significa
Z = L + 50.
Substituindo novamente L e Z:
Z_0 + 10n = 2L_0 + 50.

Passo 4

Reduzir o sistema usando a equação inicial L_0 + Z_0 = 2200 para eliminar Z_0.
Da equação inicial temos
Z_0 = 2200 - L_0.
Substituir Z_0 nas duas equações que surgiram no passo anterior.
Primeira equação (soma total depois de n anos):
2L_0 + (2200 - L_0) + 10n = 3250.
Agora simplificar essa expressão passo a passo:
2L_0 + 2200 - L_0 + 10n = 3250,
L_0 + 2200 + 10n = 3250,
L_0 + 10n = 3250 - 2200,
L_0 + 10n = 1050.

Passo 5

Segunda equação (diferença de 50 zebras):
Substituindo Z_0 = 2200 - L_0 na equação Z_0 + 10n = 2L_0 + 50:
2200 - L_0 + 10n = 2L_0 + 50.
Passo a passo:
2200 + 10n = 2L_0 + 50 + L_0,
2200 + 10n = 3L_0 + 50,
3L_0 - 10n = 2200 - 50,
3L_0 - 10n = 2150.
Agora temos um sistema linear simples em L_0 e n:
\begin{cases} L_0 + 10n = 1050,\\[4pt] 3L_0 - 10n = 2150. \end{cases}]

Passo 6

Resolver o sistema linear somando as duas equações (método eficiente aqui porque os termos 10n se anulam).
Somando membro a membro:
(L_0 + 10n) + (3L_0 - 10n) = 1050 + 2150.
As parcelas +10n e -10n se cancelam:
4L_0 = 3200.
Dividindo por 4:
L_0 = \frac{3200}{4} = 800.
Agora usar L_0 + 10n = 1050 para achar n:
800 + 10n = 1050,
10n = 1050 - 800 = 250,
n = \frac{250}{10} = 25.

Passo 7

Calcular as populações no ano 1900+n.
  • Ano em que ocorreu: 1900 + n = 1900 + 25 = 1925.
  • Leões naquele ano: L = 2L_0 = 2\cdot 800 = 1600.
  • Zebras naquele ano: Z = Z_0 + 10n. Primeiro Z_0 = 2200 - L_0 = 2200 - 800 = 1400. Então
Z = 1400 + 10\cdot 25 = 1400 + 250 = 1650.

Passo 8

Verificação rápida (para garantir que não houve erro):
  • Soma L+Z = 1600 + 1650 = 3250 — confere com o enunciado.
  • Diferença Z-L = 1650 - 1600 = 50 — confere com a observação do biólogo.
    Tudo bate, então as soluções estão corretas. Força aí — já era só montar equações e resolver o sistema linear!

Resposta

1925
1600 leões
1650 zebras

Exercícios relacionados