A predação ou predatismo é um tipo de relação ecológica em que um indivíduo de uma espécie (predador) se alimenta de outro de uma espécie diferente (presa).
Por exemplo, nas savanas africanas, o leão é um dos predadores das zebras. Embora pareça cruel, essa relação é fundamental para a preservação das espécies. Imagine se nas savanas africanas fossem eliminados todos os animais carnívoros. A população de herbívoros, como as zebras, cresceria desordenadamente, o que acarretaria no extermínio dos vegetais e, consequentemente, no extermínio da população de herbívoros. Raciocínio análogo pode ser feito supondose a eliminação das presas dos carnívoros. A natureza, por si só, mantém o ponto de equilíbrio, preservando as espécies de predadores e de presas, porém a interferência do ser humano tem causado a extinção de muitas espécies. Suponha que no ano de 1900 , em determinada região, as populações de leões e de zebras, juntas, tinham 2.200 indivíduos e
anos depois a população de leões havia dobrado e a de zebras havia aumentado 10 indivíduos por ano, totalizando, juntas, 3.250 animais. Quando isso ocorreu, um biólogo alertou para o risco de extinção das zebras, pois havia apenas 50 zebras a mais que leões. Em que ano isso ocorreu e quantos leões e quantas zebras havia, então, na região?
Passo 1
O enunciado dá uma situação com populações de leões e zebras numa região em 1900 e pede: em que ano, após 1900, ocorreu uma certa situação e quantos leões e quantas zebras havia então. Informação fornecida (tudo extraído do enunciado):
- Em 1900 as populações juntas de leões e zebras somavam
indivíduos. - Passados
anos (ou seja, no ano ): - a população de leões havia dobrado (isto é, ficou duas vezes a população de leões em 1900);
- a população de zebras havia aumentado
indivíduos por ano (ou seja, aumento de em relação a 1900); - juntas, as populações somavam
animais.
- Nessa mesma ocasião o biólogo observou que havia apenas
zebras a mais que leões (isto é, número de zebras era maior que o número de leões).
O que o problema pede:
- Determinar o ano em que isso ocorreu (ou seja, achar
e então ). - Determinar quantos leões e quantas zebras havia naquele ano.
Passo 2
Definir variáveis de forma clara (isso facilita montar as equações).
- Seja
a população de leões em 1900. - Seja
a população de zebras em 1900. - Seja
o número de anos após 1900 até a situação descrita.
Explicação prática: escolher variáveis para as populações iniciais permite traduzir frases como “dobrou” e “aumentou 10 por ano” em equações simples.
Passo 3
Traduzir as frases em equações matemáticas (cada frase vira uma equação).
- "Em 1900 as populações juntas somavam
" vira
- “Depois de
anos as leões haviam dobrado” significa que, naquele ano, a população de leões era
- “Depois de
anos as zebras haviam aumentado por ano” significa
- "Naquele ano, juntas, totalizavam
" dá
Substituindo
e
pelas expressões acima obtemos uma equação em
:
- “Havia apenas
zebras a mais que leões” significa
Substituindo novamente
e
:
Passo 4
Reduzir o sistema usando a equação inicial
para eliminar
.
Da equação inicial temos
Da equação inicial temos
Substituir
nas duas equações que surgiram no passo anterior.
Primeira equação (soma total depois de
anos):
Agora simplificar essa expressão passo a passo:
Passo 5
Segunda equação (diferença de
zebras):
Substituindo na equação
:
Substituindo
Passo a passo:
Agora temos um sistema linear simples em
e
:
Passo 6
Resolver o sistema linear somando as duas equações (método eficiente aqui porque os termos
se anulam).
Somando membro a membro:
Somando membro a membro:
As parcelas
e
se cancelam:
Dividindo por
:
Agora usar
para achar
:
Passo 7
Calcular as populações no ano
.
- Ano em que ocorreu:
. - Leões naquele ano:
. - Zebras naquele ano:
. Primeiro . Então
Passo 8
Verificação rápida (para garantir que não houve erro):
- Soma
— confere com o enunciado. - Diferença
— confere com a observação do biólogo.
Tudo bate, então as soluções estão corretas. Força aí — já era só montar equações e resolver o sistema linear!