Julgue os itens em verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta.
9. ( ) A série numérica alternada para é condicionalmente convergente.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para julgar se a série alternada para é condicionalmente convergente. Vamos usar conceitos de séries alternadas e testes de convergência para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma série ser alternada. Uma série alternada é aquela em que os termos mudam de sinal, ou seja, positivos e negativos se alternam. No nosso caso, isso é representado por .
Passo 3
Agora, vamos falar sobre convergência condicional. Uma série é condicionalmente convergente se ela converge, mas a série dos valores absolutos dos termos dela diverge. Ou seja, a série alternada dá certo, mas se a gente tirar os sinais, não dá mais.
Passo 4
Para verificar a convergência da nossa série alternada, podemos usar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série alternada converge se:
Os termos são positivos.
Os termos são decrescentes.
.
No nosso caso, . Vamos ver se essas condições são atendidas.
Passo 5
Primeiro, é positivo para todo e , o que está de acordo.
Segundo, para , conforme aumenta, diminui porque o denominador está crescendo. Então, os termos são decrescentes.
Terceiro, , já que o denominador fica cada vez maior.
Portanto, pelo Teste da Série Alternada, a série converge.
Passo 6
Mas queremos saber se ela é condicionalmente convergente. Para isso, precisamos verificar a convergência da série absoluta, ou seja, .
Essa é uma série p, que converge se e diverge se .
Passo 7
Como no nosso caso , a série absoluta diverge. Então, a série alternada converge, mas a série dos valores absolutos não.
Resposta
A afirmação é verdadeira. A série para é condicionalmente convergente.