Julgue os itens em verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta.
9. ( ) A série numérica alternada sumn=1^infty(-1)^n+1 1n^p para p <= 1 é condicionalmente convergente.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para julgar se a série alternada para é condicionalmente convergente. Vamos usar conceitos de séries alternadas e testes de convergência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma série ser alternada. Uma série alternada é aquela em que os termos mudam de sinal, ou seja, positivos e negativos se alternam. No nosso caso, isso é representado por .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre convergência condicional. Uma série é condicionalmente convergente se ela converge, mas a série dos valores absolutos dos termos dela diverge. Ou seja, a série alternada dá certo, mas se a gente tirar os sinais, não dá mais.

Passo 4

Para verificar a convergência da nossa série alternada, podemos usar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série alternada converge se:
  1. Os termos são positivos.
  2. Os termos são decrescentes.
  3. .
No nosso caso, . Vamos ver se essas condições são atendidas.

Passo 5

Primeiro, é positivo para todo e , o que está de acordo.
Segundo, para , conforme aumenta, diminui porque o denominador está crescendo. Então, os termos são decrescentes.
Terceiro, , já que o denominador fica cada vez maior.
Portanto, pelo Teste da Série Alternada, a série converge.

Passo 6

Mas queremos saber se ela é condicionalmente convergente. Para isso, precisamos verificar a convergência da série absoluta, ou seja, .
Essa é uma série p, que converge se e diverge se .

Passo 7

Como no nosso caso , a série absoluta diverge. Então, a série alternada converge, mas a série dos valores absolutos não.

Resposta

A afirmação é verdadeira. A série para é condicionalmente convergente.

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