Utilize a representação da série geométrica para obter uma representação em séries de potências para as seguintes funções. Determine o raio de convergência.
f(x) = x / (1 + x^2).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para representar a função como uma série de potências usando a série geométrica. Além disso, precisamos determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos lembrar como funciona a série geométrica e como aplicá-la para transformar a função dada em uma série de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que se pareça com a fórmula da série geométrica. A série geométrica tem a forma , onde .
Podemos manipular a função para que ela se encaixe nessa forma:

Passo 3

Agora que temos , podemos aplicar a série geométrica. Substituindo por na série, temos:
Multiplicando ambos os lados por , obtemos:
Então, a representação da função em série de potências é .

Passo 4

Para determinar o raio de convergência da série, precisamos encontrar os valores de para os quais a série converge. A série geométrica converge quando o valor absoluto de é menor que 1, ou seja:
Portanto, o raio de convergência é 1.

Resposta

A representação em série de potências da função é:
E o raio de convergência da série é .

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