Utilize a representação da série geométrica para obter uma representação em séries de potências para as seguintes funções. Determine o raio de convergência.
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para representar a função
como uma série de potências usando a série geométrica. Além disso, precisamos determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos lembrar como funciona a série geométrica e como aplicá-la para transformar a função dada em uma série de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
de uma forma que se pareça com a fórmula da série geométrica. A série geométrica tem a forma
, onde
.
Podemos manipular a função para que ela se encaixe nessa forma:
Passo 3
Agora que temos
, podemos aplicar a série geométrica. Substituindo
por
na série, temos:
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos:
Então, a representação da função em série de potências é
.
Passo 4
Para determinar o raio de convergência da série, precisamos encontrar os valores de
para os quais a série converge. A série geométrica converge quando o valor absoluto de
é menor que 1, ou seja:
Portanto, o raio de convergência
é 1.
Resposta
A representação em série de potências da função
é:
E o raio de convergência da série é
.