Julgue os itens em verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta.
2. ( ) Se sumn=1^infty|an| então sumn=1^infty an. Segue desse resultado que toda série absolutamente convergente é convergente.

Passo 1

Vamos entender a questão. O enunciado nos pede para julgar se a seguinte afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F):
“Se então . Segue desse resultado que toda série absolutamente convergente é convergente.”
Estamos lidando com séries infinitas e conceitos de convergência absoluta e convergência normal. Vamos precisar entender o que significa uma série ser absolutamente convergente e como isso se relaciona com a convergência da série original.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que é uma série absolutamente convergente. Uma série é chamada de absolutamente convergente se a série dos seus valores absolutos, , converge.
Isso significa que, mesmo se os termos forem positivos ou negativos, ao considerar apenas os valores absolutos, a soma ainda acumula para um número finito.

Passo 3

Agora, vamos analisar a primeira parte da afirmação:
“Se então .”
Essa parte está afirmando que se a série dos valores absolutos converge, então a série original também converge.
Na teoria das séries, sabemos que se uma série é absolutamente convergente, ela é convergente. Isso é garantido pelo Critério da Convergência Absoluta. Portanto, essa parte da afirmação é verdadeira.

Passo 4

A segunda parte da afirmação diz:
“Segue desse resultado que toda série absolutamente convergente é convergente.”
Isso está basicamente repetindo o que já entendemos: se uma série é absolutamente convergente, então ela também é convergente.
Como já vimos no passo anterior, isso é uma consequência direta do Critério da Convergência Absoluta. Portanto, essa parte também é verdadeira.

Passo 5

Com base na análise acima, ambas as partes da afirmação estão corretas. A primeira parte estabelece que a convergência da série dos valores absolutos implica a convergência da série original. A segunda parte reafirma que toda série absolutamente convergente é convergente.

Resposta

Verdadeiro (V). Se a série dos valores absolutos converge, então a série original também converge. Portanto, toda série absolutamente convergente é convergente.

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