Use o teste do limite para determinar a convergência ou divergência das séries:
.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos que usar o teste do limite para determinar se a série infinita
converge ou diverge. O teste do limite é uma ferramenta da análise de séries que nos ajuda a verificar o comportamento dos termos da série quando
tende ao infinito.
Passo 2
Vamos aplicar o teste do limite calculando o limite do termo geral da série quando
tende ao infinito:
Para resolver esse limite, observamos que o grau do polinômio no numerador é 1 e no denominador é 2. Quando o grau do denominador é maior que o do numerador, o limite tende a zero. Vamos confirmar isso dividindo cada termo por
:
Então, o limite do termo geral é 0.
Passo 3
Agora, segundo o teste do limite, se o limite do termo geral não for zero, a série diverge. No nosso caso, o limite é zero, mas isso não nos dá uma conclusão definitiva. O teste do limite apenas nos informa que, se o limite não for zero, a série certamente diverge, mas se o limite for zero, a série pode convergir ou divergir. Portanto, o teste do limite é inconclusivo nesse caso.
Passo 4
Como o teste do limite não nos dá uma resposta clara, precisamos usar outro método para determinar a convergência ou divergência da série. Vamos utilizar o teste da comparação. Observamos que para
:
Sabemos que a série
é a série harmônica, que diverge. Já a série
converge (é uma série p com
).
Como
é menor ou igual a uma série que diverge, e a parte
também diverge, podemos concluir que a série original
diverge.
Resposta
A série
diverge.