Use o teste do limite para determinar a convergência ou divergência das séries:
sumn=1^infty n+32 n^2+1.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos que usar o teste do limite para determinar se a série infinita converge ou diverge. O teste do limite é uma ferramenta da análise de séries que nos ajuda a verificar o comportamento dos termos da série quando tende ao infinito.

Passo 2

Vamos aplicar o teste do limite calculando o limite do termo geral da série quando limn to infty n+32n^2+1 tende ao infinito:
limn to infty nn^2 + 3n^22 + 1n^2 = limn to infty 1n + 3n^22 + 1n^2 = 0 + 02 + 0 = 0
Para resolver esse limite, observamos que o grau do polinômio no numerador é 1 e no denominador é 2. Quando o grau do denominador é maior que o do numerador, o limite tende a zero. Vamos confirmar isso dividindo cada termo por :
Então, o limite do termo geral é 0.

Passo 3

Agora, segundo o teste do limite, se o limite do termo geral não for zero, a série diverge. No nosso caso, o limite é zero, mas isso não nos dá uma conclusão definitiva. O teste do limite apenas nos informa que, se o limite não for zero, a série certamente diverge, mas se o limite for zero, a série pode convergir ou divergir. Portanto, o teste do limite é inconclusivo nesse caso.

Passo 4

Como o teste do limite não nos dá uma resposta clara, precisamos usar outro método para determinar a convergência ou divergência da série. Vamos utilizar o teste da comparação. Observamos que para n+32n^2+1 <= n+32n^2 = n2n^2 + 32n^2 = 12n + 32n^2 :
Sabemos que a série é a série harmônica, que diverge. Já a série converge (é uma série p com ).
Como é menor ou igual a uma série que diverge, e a parte também diverge, podemos concluir que a série original diverge.

Resposta

A série diverge.

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