Uma junta médica deverá ser formada por quatro médicos e dois enfermeiros. De quantas maneiras ela poderá ser formada se estão disponíveis dez médicos e seis enfermeiros?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Há disponíveis
médicos. - Há disponíveis
enfermeiros. - A junta deve ser formada por
médicos e enfermeiros.
A pergunta do problema é: de quantas maneiras distintas essa junta pode ser formada, escolhendo
médicos entre os
e
enfermeiros entre os
?
Passo 2
Ideia geral (sem cálculos ainda): a escolha dos médicos é independente da escolha dos enfermeiros. Primeiro escolhe-se quais
médicos farão parte; depois escolhe-se quais
enfermeiros farão parte. Pelo princípio fundamental da contagem, o número total de juntas é o produto do número de escolhas possíveis para médicos pelo número de escolhas possíveis para enfermeiros. Em símbolos isso será uma multiplicação de dois coeficientes binomiais.
Passo 3
Definição e fórmula das combinações (coeficiente binomial). Quando queremos escolher
elementos de um conjunto com
elementos e a ordem não importa, usamos a combinação
onde
(lê-se “
fatorial”) é o produto
.
Exemplo curto para fixar: escolher de
dá
Exemplo curto para fixar: escolher
isto é, as três escolhas possíveis (cada uma deixa de fora um dos três elementos).
Passo 4
Aplicando a fórmula aos médicos: queremos escolher
médicos dentre
, portanto
Para calcular sem expandir
inteiro, usamos a forma reduzida:
Agora simplificando passo a passo:
logo
Passo 5
Aplicando a fórmula aos enfermeiros: queremos escolher
enfermeiros dentre
, portanto
Calculando:
assim
Passo 6
Número total de maneiras: multiplicamos as escolhas independentes de médicos e enfermeiros. Assim o total é