Uma junta médica deverá ser formada por quatro médicos e dois enfermeiros. De quantas maneiras ela poderá ser formada se estão disponíveis dez médicos e seis enfermeiros?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Há disponíveis 10 médicos.
  • Há disponíveis 6 enfermeiros.
  • A junta deve ser formada por 4 médicos e 2 enfermeiros.
A pergunta do problema é: de quantas maneiras distintas essa junta pode ser formada, escolhendo 4 médicos entre os 10 e 2 enfermeiros entre os 6?

Passo 2

Ideia geral (sem cálculos ainda): a escolha dos médicos é independente da escolha dos enfermeiros. Primeiro escolhe-se quais 4 médicos farão parte; depois escolhe-se quais 2 enfermeiros farão parte. Pelo princípio fundamental da contagem, o número total de juntas é o produto do número de escolhas possíveis para médicos pelo número de escolhas possíveis para enfermeiros. Em símbolos isso será uma multiplicação de dois coeficientes binomiais.

Passo 3

Definição e fórmula das combinações (coeficiente binomial). Quando queremos escolher k elementos de um conjunto com n elementos e a ordem não importa, usamos a combinação
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (lê-se “ n fatorial”) é o produto n!=(n)(n-1)(n-2)\cdots(2)(1).
Exemplo curto para fixar: escolher 2 de 3
\binom{3}{2}=\frac{3!}{2!1!}=\frac{3\cdot2\cdot1}{(2\cdot1)\cdot1}=3,
isto é, as três escolhas possíveis (cada uma deixa de fora um dos três elementos).

Passo 4

Aplicando a fórmula aos médicos: queremos escolher 4 médicos dentre 10, portanto
\binom{10}{4}=\frac{10!}{4!(10-4)!}=\frac{10!}{4!6!}.
Para calcular sem expandir 10! inteiro, usamos a forma reduzida:
\binom{10}{4}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7}{4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Agora simplificando passo a passo:
10\cdot9\cdot8\cdot7=5040, \qquad 4\cdot3\cdot2\cdot1=24,
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\binom{10}{4}=\frac{5040}{24}=210.

Passo 5

Aplicando a fórmula aos enfermeiros: queremos escolher 2 enfermeiros dentre 6, portanto
\binom{6}{2}=\frac{6!}{2!4!}=\frac{6\cdot5}{2\cdot1}.
Calculando:
6\cdot5=30, \qquad 2\cdot1=2,
assim
\binom{6}{2}=\frac{30}{2}=15.

Passo 6

Número total de maneiras: multiplicamos as escolhas independentes de médicos e enfermeiros. Assim o total é
\binom{10}{4}\cdot\binom{6}{2}=210\cdot15.

Resposta

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