Em uma empresa, os estagiários passam, obrigatoriamente e uma única vez, pelos seguintes setores: RH, financeiro, comercial e marketing.
(a) Quantas ordens distintas são possíveis para o estagiário passar pelos quatro setores?
(b) Se um estagiário iniciar o trabalho no setor comercial, de quantas formas distintas poderá completar seu treinamento?

Passo 1

O enunciado diz que cada estagiário passa, obrigatoriamente e uma única vez, pelos quatro setores: RH, financeiro, comercial e marketing. As perguntas são duas:
(a) Quantas ordens distintas são possíveis para o estagiário passar pelos quatro setores?
(b) Se um estagiário iniciar no setor comercial, de quantas formas distintas poderá completar o treinamento?
Informações relevantes dadas:
  • Existem exatamente quatro setores distintos: RH, financeiro, comercial e marketing.
  • Cada setor é visitado exatamente uma vez (não há repetições).
  • No item (b) há a restrição adicional de que o primeiro setor já está fixo: comercial.

Passo 2

Conceito básico que vamos usar (explicadinho): quando temos várias decisões sequenciais independentes e cada escolha reduz as opções seguintes, usamos a regra do produto (princípio fundamental da contagem). Explicando devagar:
  • Se para a primeira posição eu tenho a opções e, depois de escolher, para a segunda posição eu tenho b opções, então o número total de pares é a\times b.
  • Esse raciocínio estende para mais posições: se as escolhas sucessivas têm a,\;b,\;c,\dots opções, o total é a\times b\times c\times\cdots.
Para ordenar n objetos distintos (ou seja, decidir quem vai na 1ª posição, 2ª, \dots, n-ésima), o número de ordens possíveis é o fatorial de n, definido por
n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1.
Exemplo simples para fixar a ideia: se tiver 3 livros distintos e quiser colocá-los em fila, para a primeira posição tenho 3 escolhas, para a segunda 2 escolhas (restam dois livros), para a terceira 1 escolha; total 3\times2\times1=3!=6 ordens.

Passo 3

Aplicando isso ao item (a): há 4 setores distintos e cada ordem é uma permutação dos 4 elementos. Pelo conceito acima, o número de ordens é
4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1.
Vou calcular passo a passo:
4 \times 3 = 12,
12 \times 2 = 24,
24 \times 1 = 24.
Portanto, existem 24 ordens distintas possíveis (isso vem diretamente da regra do produto: 4 opções para o 1º, depois 3 para o 2º, 2 para o 3º e 1 para o 4º).

Passo 4

Agora o item (b): a restrição é que o estagiário já começa no setor comercial. Interpretando isso com a mesma ideia de contagem sequencial:
  • Para a primeira posição já foi escolhida: comercial (uma escolha fixa).
  • Restam 3 setores (RH, financeiro, marketing) que precisam ser ordenados nas posições 2, 3 e 4.
Pelas mesmas regras, o número de maneiras de ordenar os 3 setores restantes é
3! = 3 \times 2 \times 1.
Calculando:
3 \times 2 = 6,
6 \times 1 = 6.
Outra forma de ver: como a primeira posição está fixa, o número total é 1\times 3\times 2\times 1 = 6; em termos de fórmula geral, fixar a primeira de n opções deixa (n-1)! permutações restantes.

Passo 5

Resumo didático rápido e truques para prova:
  • Quando todas as n coisas são distintas e cada uma aparece exatamente uma vez, o número de ordens é n!.
  • Se alguma posição é fixada (por exemplo, começa em um setor específico), reduza n para n-1 e calcule (n-1)!.
  • Decore pequenos fatoriais: 1!=1, 2!=2, 3!=6, 4!=24, 5!=120. Eles aparecem muito em provas; saber de cabeça ajuda.
Força aí — tá caminhando bem! Calma, rever esse tipo de raciocínio algumas vezes deixa automático na hora da prova.

Resposta

(a) 24
(b) 6

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