Em uma empresa, os estagiários passam, obrigatoriamente e uma única vez, pelos seguintes setores: RH, financeiro, comercial e marketing.
(a) Quantas ordens distintas são possíveis para o estagiário passar pelos quatro setores?
(b) Se um estagiário iniciar o trabalho no setor comercial, de quantas formas distintas poderá completar seu treinamento?
(a) Quantas ordens distintas são possíveis para o estagiário passar pelos quatro setores?
(b) Se um estagiário iniciar o trabalho no setor comercial, de quantas formas distintas poderá completar seu treinamento?
Passo 1
O enunciado diz que cada estagiário passa, obrigatoriamente e uma única vez, pelos quatro setores: RH, financeiro, comercial e marketing. As perguntas são duas:
(a) Quantas ordens distintas são possíveis para o estagiário passar pelos quatro setores?
(b) Se um estagiário iniciar no setor comercial, de quantas formas distintas poderá completar o treinamento?
(a) Quantas ordens distintas são possíveis para o estagiário passar pelos quatro setores?
(b) Se um estagiário iniciar no setor comercial, de quantas formas distintas poderá completar o treinamento?
Informações relevantes dadas:
- Existem exatamente quatro setores distintos: RH, financeiro, comercial e marketing.
- Cada setor é visitado exatamente uma vez (não há repetições).
- No item (b) há a restrição adicional de que o primeiro setor já está fixo: comercial.
Passo 2
Conceito básico que vamos usar (explicadinho): quando temos várias decisões sequenciais independentes e cada escolha reduz as opções seguintes, usamos a regra do produto (princípio fundamental da contagem). Explicando devagar:
- Se para a primeira posição eu tenho
opções e, depois de escolher, para a segunda posição eu tenho opções, então o número total de pares é . - Esse raciocínio estende para mais posições: se as escolhas sucessivas têm
opções, o total é .
Para ordenar
objetos distintos (ou seja, decidir quem vai na 1ª posição, 2ª, \dots,
-ésima), o número de ordens possíveis é o fatorial de
, definido por
Exemplo simples para fixar a ideia: se tiver 3 livros distintos e quiser colocá-los em fila, para a primeira posição tenho
escolhas, para a segunda
escolhas (restam dois livros), para a terceira
escolha; total
ordens.
Passo 3
Aplicando isso ao item (a): há
setores distintos e cada ordem é uma permutação dos
elementos. Pelo conceito acima, o número de ordens é
Vou calcular passo a passo:
Portanto, existem
ordens distintas possíveis (isso vem diretamente da regra do produto:
opções para o 1º, depois
para o 2º,
para o 3º e
para o 4º).
Passo 4
Agora o item (b): a restrição é que o estagiário já começa no setor comercial. Interpretando isso com a mesma ideia de contagem sequencial:
- Para a primeira posição já foi escolhida: comercial (uma escolha fixa).
- Restam
setores (RH, financeiro, marketing) que precisam ser ordenados nas posições 2, 3 e 4.
Pelas mesmas regras, o número de maneiras de ordenar os
setores restantes é
Calculando:
Outra forma de ver: como a primeira posição está fixa, o número total é
; em termos de fórmula geral, fixar a primeira de
opções deixa
permutações restantes.
Passo 5
Resumo didático rápido e truques para prova:
- Quando todas as
coisas são distintas e cada uma aparece exatamente uma vez, o número de ordens é . - Se alguma posição é fixada (por exemplo, começa em um setor específico), reduza
para e calcule . - Decore pequenos fatoriais:
, , , , . Eles aparecem muito em provas; saber de cabeça ajuda.
Força aí — tá caminhando bem! Calma, rever esse tipo de raciocínio algumas vezes deixa automático na hora da prova.
Resposta
(a)
(b)
(b)