- Uma junta de termopar, que pode ser aproximada por uma esfera, é usada para medir a temperatura de uma corrente gasosa. O coeficiente convectivo entre a superficie da junta e o gás é igual a
, e as propriedades termofisicas da junta são
K ),
e
.
3.1 O diâmetro que a junta deve possuir para que o termopar tenha uma constante de tempo de 2 s é, em cm, aproximadamente a:
(A) 2
(B) 4
(C) 6
(D) 10
3.2 Se a junta está a
e encontra-se posicionada em uma corrente de gás a
, o tempo em segundos necessário para a junta alcançar
é aproximadamente:
(A) 6
(B) 8
(C) 10
(D) 15
3.1 O diâmetro que a junta deve possuir para que o termopar tenha uma constante de tempo de 2 s é, em cm, aproximadamente a:
(A) 2
(B) 4
(C) 6
(D) 10
3.2 Se a junta está a
(A) 6
(B) 8
(C) 10
(D) 15
Passo 1
O enunciado pergunta duas coisas e dá estes dados:
- Perguntas:
- Qual o diâmetro que a junta (aproximada por uma esfera) deve ter para que a constante de tempo seja
? (responder em cm) - Se a junta está a
e o gás a , quanto tempo leva para a junta atingir ?
- Qual o diâmetro que a junta (aproximada por uma esfera) deve ter para que a constante de tempo seja
- Dados fornecidos (todos já nas unidades do SI salvo indicação):
- Observação implícita: a junta é modelada como uma esfera e vamos usar um modelo de resposta transitória para um corpo com troca de calor por convecção na superfície.
Passo 2
Explicando o método (passo a passo, tipo aula rápida):
- Quando um objeto sólido tem resistência interna ao fluxo de calor pequena comparada à resistência de convecção na superfície, podemos usar o modelo “lumped capacitance” (corpo com temperatura uniforme no instante
). Nesse modelo a temperatura do corpo varia no tempo segundo uma equação exponencial com uma constante de tempo . - A constante de tempo
no modelo lumped é dada por
onde:
-
é a densidade do material ( ), -
é a capacidade térmica massica ( ), -
é o volume do corpo ( ), -
é o coeficiente convectivo ( ), -
é a área da superfície ( ). - Para uma esfera de diâmetro
: Substituindo em : Portanto, para esfera a constante de tempo simplifica muito: . - Antes de usar esse modelo devemos checar o critério de validade: o número de Biot
onde
é o comprimento característico
. Para a esfera
. Logo
O modelo lumped é razoável se
. Se
for maior, o erro aumenta — ainda assim muitas questões de prova usam lumped mesmo com Bi moderado.
Passo 3
Resolver 3.1: achar
para que
.
- Partimos da fórmula já obtida:
- Isolando
:
- Substituindo os valores (tudo em SI):
, , , :
- Calcule passo a passo:
- Numerador:
- Denominador:
- Divisão:
- Numerador:
- Converter para centímetros:
Passo 4
Cheque rápido do número de Biot para essa
(validade do modelo):
Calcule:
- Numerador:
- Denominador:
- Logo
Comentário didático:é maior que , portanto o modelo lumped é só moderadamente aceitável (não perfeito). Em provas tipicamente aceitam lumped para esse tipo de exercício; continuamos com ele, lembrando que o erro pode ser significativo na prática.
Passo 5
Resolver 3.2: equação da resposta temporal no modelo lumped e como usá-la.
- No modelo lumped a temperatura do corpo no tempo
é
onde:
-
é a temperatura do fluido (aqui ), -
é a temperatura inicial do corpo (aqui ), -
é a constante de tempo (aqui , obtida na parte anterior). - Queremos achar
tal que . Substituindo:
- Simplificar a equação:
-
. -
.
Assim
-
- Dividindo por
:
- Tomando log natural:
- Substituindo
:
- Calcule numericamente:
-
-
- Multiplicando:
-
- Arredondando de forma prática:
Passo 6
Resumo interpretativo e observações finais (tipo amigo te encorajando):
- Para a esfera com as propriedades dadas, o diâmetro que dá
é . - Com essa constante de tempo, para aquecer de
para na corrente de leva cerca de . - Observação importante: checamos o número de Biot e obtivemos
, o que significa que a temperatura dentro da esfera pode não ser perfeitamente uniforme — portanto na aplicação real o valor exato pode diferir; mas para exercícios de prova esse procedimento é o esperado.
Resposta
3.1
(alternativa (C))
3.2
3.2