1. Uma junta de termopar, que pode ser aproximada por uma esfera, é usada para medir a temperatura de uma corrente gasosa. O coeficiente convectivo entre a superficie da junta e o gás é igual a \mathrm{h}=1000 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}\right), e as propriedades termofisicas da junta são \mathrm{k}=20 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} K ), \mathrm{c}=100 \mathrm{~J} /(\mathrm{kg} \mathrm{K}) e \mathrm{p}=2000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.
    3.1 O diâmetro que a junta deve possuir para que o termopar tenha uma constante de tempo de 2 s é, em cm, aproximadamente a:
    (A) 2
    (B) 4
    (C) 6
    (D) 10
    3.2 Se a junta está a 50^{\circ} \mathrm{C} e encontra-se posicionada em uma corrente de gás a 200^{\circ} \mathrm{C}, o tempo em segundos necessário para a junta alcançar 160{ }^{\circ} \mathrm{C} é aproximadamente:
    (A) 6
    (B) 8
    (C) 10
    (D) 15

Passo 1

O enunciado pergunta duas coisas e dá estes dados:
  • Perguntas:
    1. Qual o diâmetro que a junta (aproximada por uma esfera) deve ter para que a constante de tempo seja 2\\ \mathrm{s}? (responder em cm)
    2. Se a junta está a 50^\circ\mathrm{C} e o gás a 200^\circ\mathrm{C}, quanto tempo leva para a junta atingir 160^\circ\mathrm{C}?
  • Dados fornecidos (todos já nas unidades do SI salvo indicação): h = 1000\\ \mathrm{W/(m^2\,K)},\quad k = 20\\ \mathrm{W/(m\,K)},\quad c = 100\\ \mathrm{J/(kg\,K)},\quad \rho = 2000\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Observação implícita: a junta é modelada como uma esfera e vamos usar um modelo de resposta transitória para um corpo com troca de calor por convecção na superfície.

Passo 2

Explicando o método (passo a passo, tipo aula rápida):
  • Quando um objeto sólido tem resistência interna ao fluxo de calor pequena comparada à resistência de convecção na superfície, podemos usar o modelo “lumped capacitance” (corpo com temperatura uniforme no instante t). Nesse modelo a temperatura do corpo varia no tempo segundo uma equação exponencial com uma constante de tempo \tau.
  • A constante de tempo \tau no modelo lumped é dada por
\tau=\frac{\rho\,c\,V}{h\,A},
onde:
  • \rho é a densidade do material ( \mathrm{kg/m^3}),
  • c é a capacidade térmica massica ( \mathrm{J/(kg\,K)}),
  • V é o volume do corpo ( \mathrm{m^3}),
  • h é o coeficiente convectivo ( \mathrm{W/(m^2\,K)}),
  • A é a área da superfície ( \mathrm{m^2}).
  • Para uma esfera de diâmetro d: V=\frac{\pi}{6}d^3,\qquad A=\pi d^2.Substituindo em \tau: \tau=\frac{\rho c \,\frac{\pi}{6}d^3}{h\,\pi d^2}=\frac{\rho c\,d}{6h}.Portanto, para esfera a constante de tempo simplifica muito: \tau=\dfrac{\rho c d}{6h}.
  • Antes de usar esse modelo devemos checar o critério de validade: o número de Biot
\mathrm{Bi}=\frac{h\,L_c}{k},
onde L_c é o comprimento característico L_c=V/A. Para a esfera L_c=d/6. Logo
\mathrm{Bi}=\frac{h\,d}{6k}.
O modelo lumped é razoável se \mathrm{Bi}\lesssim 0{,}1. Se \mathrm{Bi} for maior, o erro aumenta — ainda assim muitas questões de prova usam lumped mesmo com Bi moderado.

Passo 3

Resolver 3.1: achar d para que \tau=2\\ \mathrm{s}.
  • Partimos da fórmula já obtida:
\tau=\frac{\rho c d}{6h}.
  • Isolando d:
d=\frac{6h\tau}{\rho c}.
  • Substituindo os valores (tudo em SI): h=1000, \tau=2, \rho=2000, c=100:
d=\frac{6\cdot 1000\cdot 2}{2000\cdot 100}.
  • Calcule passo a passo:
    • Numerador: 6\cdot 1000\cdot 2 = 12000.
    • Denominador: 2000\cdot 100 = 200000.
    • Divisão: d=\dfrac{12000}{200000}=0{,}06\\ \mathrm{m}.
  • Converter para centímetros:
d=0{,}06\\ \mathrm{m}=6\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

Cheque rápido do número de Biot para essa d (validade do modelo):
\mathrm{Bi}=\frac{h d}{6k}=\frac{1000\cdot 0{,}06}{6\cdot 20}.
Calcule:
  • Numerador: 1000\cdot 0{,}06=60.
  • Denominador: 6\cdot 20=120.
  • Logo \mathrm{Bi}=\dfrac{60}{120}=0{,}5.
    Comentário didático: \mathrm{Bi}=0{,}5 é maior que 0{,}1, portanto o modelo lumped é só moderadamente aceitável (não perfeito). Em provas tipicamente aceitam lumped para esse tipo de exercício; continuamos com ele, lembrando que o erro pode ser significativo na prática.

Passo 5

Resolver 3.2: equação da resposta temporal no modelo lumped e como usá-la.
  • No modelo lumped a temperatura do corpo no tempo t é
T(t)=T_\infty+(T_i-T_\infty)\,e^{-t/\tau},
onde:
  • T_\infty é a temperatura do fluido (aqui 200^\circ\mathrm{C}),
  • T_i é a temperatura inicial do corpo (aqui 50^\circ\mathrm{C}),
  • \tau é a constante de tempo (aqui 2\\ \mathrm{s}, obtida na parte anterior).
  • Queremos achar t tal que T(t)=160^\circ\mathrm{C}. Substituindo:
160 = 200 + (50-200)\,e^{-t/\tau}.
  • Simplificar a equação:
    • 50-200 = -150.
    • 160-200 = -40.
      Assim
-40 = -150\,e^{-t/\tau}.
  • Dividindo por -150:
\frac{-40}{-150}=e^{-t/\tau}\quad\Longrightarrow\quad e^{-t/\tau}=\frac{40}{150}=\frac{4}{15}.
  • Tomando log natural:
-\frac{t}{\tau}=\ln\!\left(\frac{4}{15}\right)\quad\Longrightarrow\quad t=-\tau\ln\!\left(\frac{4}{15}\right)=\tau\ln\!\left(\frac{15}{4}\right).
  • Substituindo \tau=2\\ \mathrm{s}:
t=2\ln\!\left(\frac{15}{4}\right).
  • Calcule numericamente:
    • \dfrac{15}{4}=3{,}75.
    • \ln(3{,}75)\approx 1{,}3217558.
    • Multiplicando: t\approx 2\cdot 1{,}3217558\approx 2{,}6435116\\ \mathrm{s}.
  • Arredondando de forma prática:
t\approx 2{,}64\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Resumo interpretativo e observações finais (tipo amigo te encorajando):
  • Para a esfera com as propriedades dadas, o diâmetro que dá \tau=2\\ \mathrm{s} é 6\\ \mathrm{cm}.
  • Com essa constante de tempo, para aquecer de 50^\circ\mathrm{C} para 160^\circ\mathrm{C} na corrente de 200^\circ\mathrm{C} leva cerca de 2{,}64\\ \mathrm{s}.
  • Observação importante: checamos o número de Biot e obtivemos 0{,}5, o que significa que a temperatura dentro da esfera pode não ser perfeitamente uniforme — portanto na aplicação real o valor exato pode diferir; mas para exercícios de prova esse procedimento é o esperado.

Resposta

3.1 6\\ \mathrm{cm} (alternativa (C))
3.2 2{,}64\\ \mathrm{s}

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