O que justifica a afirmação de que a relação entre a percepção de precisão de uma previsão intervalar e o nível de significância é direta?

Passo 1

O enunciado pergunta por que dizemos que existe uma relação direta entre a percepção de precisão de uma previsão intervalar e o nível de significância. Em outras palavras, queremos entender por que, ao ajustarmos o nível de significância \alpha, a “largura” do intervalo e, consequentemente, a sensação de quão preciso ele é, mudam de modo intuitivamente ligado a \alpha.

Passo 2

Lembramos que, para um parâmetro desconhecido \theta estimado por \hat\theta com desvio-padrão \sigma_{\hat\theta}, um intervalo de confiança de nível 1-\alpha tem a forma
\hat\theta \pm z_{1-\frac{\alpha}{2}}\;\sigma_{\hat\theta},
onde z_{1-\frac{\alpha}{2}} é o quantil da distribuição normal padrão correspondente a uma cauda de área \frac{\alpha}{2}.

Passo 3

Note que o fator z_{1-\frac{\alpha}{2}} é decrescente em \alpha:
  • Se aumentamos \alpha, então \frac{\alpha}{2} cresce e z_{1-\frac{\alpha}{2}} diminui.
  • Se diminuímos \alpha, z_{1-\frac{\alpha}{2}} aumenta.
Como a largura total do intervalo é
\text{Largura} = 2\,z_{1-\frac{\alpha}{2}}\,\sigma_{\hat\theta},
um \alpha maior gera um z menor e, portanto, um intervalo mais estreito.

Passo 4

Um intervalo mais estreito dá a impressão de maior precisão, pois “abraça” menos valores possíveis para \theta. Assim, quando \alpha aumenta, a previsão intervalar fica mais “precisa” ao olho do usuário, e vice-versa.

Resposta

A relação é direta porque a largura do intervalo
2\,z_{1-\frac{\alpha}{2}}\,\sigma_{\hat\theta}
depende monotonicamente de z_{1-\frac{\alpha}{2}}, que por sua vez decresce conforme \alpha aumenta, tornando o intervalo mais estreito e dando maior percepção de precisão.

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