Justifique a existência de uma transformação que verifique, T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, tal que
T\left(\left[\begin{array}{l} 3 \\\\ 1 \\\\ 0 \end{array}\right]\right)=T\left(\left[\begin{array}{c} -3 \\\\ -2 \\\\ 1 \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{l} 2 \\\\ 1 \\\\ 1 \end{array}\right], T\left(\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 1 \\\\ 0 \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c} 2 \\\\ -1 \\\\ 3 \end{array}\right] .

Passo 1

O problema pede que a gente justifique a existência de uma transformação T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 linear tal que
T\!\left(\begin{bmatrix}3\\\ 1\\\ 0\end{bmatrix}\right)=T\!\left(\begin{bmatrix}-3\\\ -2\\\ 1\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}2\\\ 1\\\ 1\end{bmatrix}, \qquad T\!\left(\begin{bmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}2\\\ -1\\\ 3\end{bmatrix}.
Vou chamar, para facilitar, os vetores do domínio de
v_1=\begin{bmatrix}3\\\ 1\\\ 0\end{bmatrix},\quad v_2=\begin{bmatrix}-3\\\ -2\\\ 1\end{bmatrix},\quad v_3=\begin{bmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{bmatrix},
e os vetores imagem de
w_1=\begin{bmatrix}2\\\ 1\\\ 1\end{bmatrix},\quad w_3=\begin{bmatrix}2\\\ -1\\\ 3\end{bmatrix}.
O que precisamos justificar é que existe (pelo menos) uma aplicação linear T com T(v_1)=w_1, T(v_2)=w_1 e T(v_3)=w_3.

Passo 2

Primeiro passo técnico: verificar se [{v_1,v_2,v_3}) é uma base de \mathbb{R}^3. Isso garante que podemos definir T livremente nesses vetores e depois estender linearmente.
Para checar independência linear, suponha que existam escalares a,b,c\in\mathbb{R} tais que
a v_1 + b v_2 + c v_3 = \begin{bmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{bmatrix}.
Escrevendo componente a componente, obtemos o sistema
\begin{cases} 3a + (-3)b + 1c = 0,\\[4pt] 1a + (-2)b + 1c = 0,\\[4pt] 0a + 1b + 0c = 0. \end{cases}
Da terceira equação vem imediatamente b=0\]. Substituindo \[b=0 nas duas primeiras:
\begin{cases} 3a + c = 0,\\\ a + c = 0. \end{cases}
Subtraindo a segunda da primeira, obtemos 2a=0\], logo \(a=0. Então c=0. Portanto a=b=c=0 é a única combinação linear que dá zero, ou seja, v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes.]

Passo 3

Como temos três vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^3, concluímos que \{v_1,v_2,v_3\} forma uma base de \mathbb{R}^3. Isso significa que qualquer vetor x\in\mathbb{R}^3 pode ser escrito de forma única como combinação linear
x=\alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3
para escalares únicos \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}. A unicidade das coordenadas é uma propriedade essencial da base.

Passo 4

Agora a ideia padrão (teorema da extensão linear): se você define um valor para uma aplicação linear em todos os vetores de uma base, então existe uma única aplicação linear que estende essa definição a todo o espaço. Vou construir explicitamente T:
Defina T em cada vetor da base por
T(v_1)=w_1,\qquad T(v_2)=w_1,\qquad T(v_3)=w_3.
E para um vetor arbitrário x=\alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3 defina
T(x)=\alpha\,T(v_1)+\beta\,T(v_2)+\gamma\,T(v_3).
Usando os valores acima isso fica
T(x)=(\alpha+\beta)\,w_1+\gamma\,w_3.

Passo 5

Tenho que verificar duas coisas rápidas: (i) que T está bem-definida e (ii) que T é linear.
(i) Bem-definida: a representação x=\alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3 é única porque \{v_1,v_2,v_3\} é base. Logo os coeficientes \alpha,\beta,\gamma são únicos, então T(x) não depende de escolhas — está bem-definida.
(ii) Linearidade: por construção T é definida por combinação linear das imagens dos vetores da base, então para quaisquer x,y e escalares s,t temos
T(sx+ty)=sT(x)+tT(y),
pois expandimos x,y nas coordenadas da base e a definição de T preserva soma e multiplicação por escalar. (Isto é exatamente a propriedade do “estender linearmente”.)
Além disso, verificamos que para os vetores pedidos a propriedade é satisfeita:
T(v_1)=w_1,\quad T(v_2)=w_1,\quad T(v_3)=w_3.

Passo 6

Portanto existe (e, na verdade, existe uma única) transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 que satisfaz as condições pedidas: basta defini-la nos vetores v_1,v_2,v_3 como fizemos e estender linearmente.

Resposta

Sim. Existe uma transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3: como \{v_1,v_2,v_3\} é base, defina T(v_1)=w_1, T(v_2)=w_1, T(v_3)=w_3 e estenda linearmente.

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