Sabendo que as aplicações geométricas, dadas em cada caso, são transformações lineares, determine sua lei de formação.
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, onde T(u) é a rotação de um vetor em torno do eixo x no sentido positivo, com ângulo 0 \leq \theta<2 \pi.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a lei de formação da transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} que rotaciona cada vetor em torno do eixo x no sentido positivo (ângulo 0\le \theta<2\pi). Informações dadas:
  • T é uma transformação linear.
  • A transformação é uma rotação em torno do eixo x com ângulo \theta (sentido positivo).
  • Domínio e contradomínio são \mathbb{R}^{3}.
    A tarefa é então escrever explicitamente T(u) para um vetor qualquer u\in\mathbb{R}^{3} (ou a matriz de T na base canônica).

Passo 2

Ideia geral (sem começar a calcular ainda): como T é linear, basta determinar as imagens dos vetores da base canônica
\;e_{1}=(1,0,0),\; e_{2}=(0,1,0),\; e_{3}=(0,0,1)\;
e montar a matriz cujas colunas são T(e_{1}),T(e_{2}),T(e_{3}). Depois, para um vetor genérico u=(x,y,z) aplicamos a matriz para obter a fórmula de T(u).

Passo 3

Definição e efeito geométrico sobre a base: a rotação em torno do eixo x mantém a componente na direção do eixo x inalterada, porque o eixo x é o eixo de rotação. Logo,
T(e_{1}) = e_{1} = (1,0,0).
Expliquei: e_{1} está sobre o eixo x, então não se move.

Passo 4

Efeito sobre e_{2}=(0,1,0): e_{2} está no plano yz. A rotação de ângulo \theta em torno do eixo x age apenas nesse plano yz. No plano yz a rotação de ângulo \theta (no sentido positivo — regra da mão direita) transforma as coordenadas (y,z) segundo a matriz de rotação plana
\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\[4pt]\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}.
Aplicando isso a (y,z)=(1,0) (que é e_{2}) obtemos
T(e_{2}) = (0,\cos\theta,\sin\theta).
Explicação simples: para vetores no plano yz, a nova componente y' é y\cos\theta - z\sin\theta e z' é y\sin\theta + z\cos\theta. Aqui y=1,z=0.]

Passo 5

Efeito sobre e_{3}=(0,0,1): usando a mesma regra de rotação no plano yz, aplicamos a matriz ao par (y,z)=(0,1). Assim
T(e_{3}) = (0,-\sin\theta,\cos\theta).
Interpretação geométrica: para pequeno \theta>0, e_{2} gira em direção a e_{3}, e e_{3} gira em direção a -e_{2}, conforme a regra da mão direita sobre o eixo x.

Passo 6

Montagem da matriz de T na base canônica: as colunas são T(e_{1}),T(e_{2}),T(e_{3}). Logo a matriz A de T é
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & \cos\theta & -\sin\theta\\[4pt] 0 & \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}.
Expliquei: primeiro coluna = imagem de e_{1}, segunda = imagem de e_{2}, terceira = imagem de e_{3}.]

Passo 7

Lei de formação para um vetor genérico u=(x,y,z): multiplicamos a matriz A pelo vetor coluna (x,y,z)^{T}. Calculando coordenada a coordenada,
T(x,y,z) = \bigl(x,\; y\cos\theta - z\sin\theta,\; y\sin\theta + z\cos\theta\bigr).
Mostrei passo a passo: primeira coordenada permanece x; segunda é 0\cdot x + \cos\theta\cdot y + (-\sin\theta)\cdot z; terceira é 0\cdot x + \sin\theta\cdot y + \cos\theta\cdot z.

Passo 8

Checagem rápida com um exemplo numérico para ganhar confiança: se \theta=\tfrac{\pi}{2},
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Aplicando a e_{2}=(0,1,0) obtemos T(e_{2})=(0,0,1) e a e_{3}=(0,0,1) obtemos T(e_{3})=(0,-1,0), o que é coerente com a rotação de 90 graus em torno do eixo x.]

Resposta

T(x,y,z)=\bigl(x,\;y\cos\theta - z\sin\theta,\; y\sin\theta + z\cos\theta\bigr)
\text{matriz de }T:\quad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & \cos\theta & -\sin\theta\\[4pt] 0 & \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}]

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