Justifique que não existe uma curva alpha: R R^3, três vezes derivável, tal que, para algum t in R, B^prime(t) cdot N(t)<0 e tau(t)<0.

Passo 1

O enunciado pede para justificar que não há curva α: ℝ→ℝ³ de classe C³ tal que, em algum t, B′(t)·N(t)<0 e τ(t)<0 simultaneamente. O conteúdo necessário é o sistema de Frenet-Serret para curvas no espaço.

Passo 2

Pelas fórmulas de Frenet-Serret, em particular para o vetor binormal B, vale:
B'(t)=-tau(t),N(t)

Passo 3

Fazendo o produto escalar com N(t) temos:
B'(t)cdot N(t)=(-tau(t),N(t))cdot N(t)=-tau(t),(N(t)cdot N(t))=-tau(t), já que N(t) é de norma unitária.

Passo 4

Se B′(t)·N(t)<0 então -τ(t)<0, ou seja, τ(t)>0. Isso contradiz a hipótese τ(t)<0. Portanto, não existe curva com essas propriedades.

Resposta

Não existe tal curva, pois pelas fórmulas de Frenet-Serret temos B′(t)·N(t)=−τ(t), o que impede simultaneamente B′(t)·N(t)<0 e τ(t)<0.

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