Justifique que não existe uma curva
, três vezes derivável, tal que, para algum
,
e
.
Passo 1
O enunciado pede para justificar que não há curva α: ℝ→ℝ³ de classe C³ tal que, em algum t, B′(t)·N(t)<0 e τ(t)<0 simultaneamente. O conteúdo necessário é o sistema de Frenet-Serret para curvas no espaço.
Passo 2
Pelas fórmulas de Frenet-Serret, em particular para o vetor binormal B, vale:
Passo 3
Fazendo o produto escalar com N(t) temos:
Passo 4
Se B′(t)·N(t)<0 então -τ(t)<0, ou seja, τ(t)>0. Isso contradiz a hipótese τ(t)<0. Portanto, não existe curva com essas propriedades.
Resposta
Não existe tal curva, pois pelas fórmulas de Frenet-Serret temos B′(t)·N(t)=−τ(t), o que impede simultaneamente B′(t)·N(t)<0 e τ(t)<0.