Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
25)
Passo 1
O exercício pede para achar o intervalo de convergência da série de potência . O conteúdo aqui é raio e intervalo de convergência de série de potência, e vamos usar o teste da razão.
Passo 2
Vamos aplicar o teste da razão. Tome o termo geral . Então
A série converge se este limite for menor que 1, ou seja
|x|^2pi<1
que equivale a
$$
|x|<\sqrt{\pi}.
$$
Passo 3
Agora vamos checar os extremos. Para x=pmraizpi o termo geral fica
(pmraizpi)^2k+1pi^k=(pm1)^2k+1,raizpi=pmraizpi,
que não tende a zero. Logo a série diverge nos dois extremos.