Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
25) sumk=0^infty x^2 k+1pi^k

Passo 1

O exercício pede para achar o intervalo de convergência da série de potência sumk=0^inftyx^2k+1pi^k. O conteúdo aqui é raio e intervalo de convergência de série de potência, e vamos usar o teste da razão.

Passo 2

Vamos aplicar o teste da razão. Tome o termo geral ak=x^2k+1pi^k. Então
limktoinfty|ak+1ak| =limktoinfty|x|^2k+3/pi^k+1|x|^2k+1/pi^k =|x|^2pi
A série converge se este limite for menor que 1, ou seja
|x|^2pi<1
que equivale a
$$
|x|<\sqrt{\pi}.
$$

Passo 3

Agora vamos checar os extremos. Para x=pmraizpi o termo geral fica
(pmraizpi)^2k+1pi^k=(pm1)^2k+1,raizpi=pmraizpi,
que não tende a zero. Logo a série diverge nos dois extremos.

Resposta

(-\sqrt{\pi},\sqrt{\pi})

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