O Kps do sulfato de rádio, \mathrm{RaSO}_{4}, é de 4,2 \times 10^{-11}. Se forem colocados 25 mg de sulfato de rádio em 100 mL de água, quantos mg serão solubilizados?

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Dado: K_{ps}(\mathrm{RaSO}_{4})=4,2\times10^{-11}.
  • Dado: foram colocados 25\\ \text{mg} de \mathrm{RaSO}_{4} em 100\\ \text{mL} de água.
  • Pergunta: quantos \text{mg} de \mathrm{RaSO}_{4} serão solubilizados (ou seja, dissolvidos) nessa água?
Informações relevantes extraídas do enunciado: o volume da solução é 100\\ \text{mL}=0,100\\ \text{L} e não há indicação de íons comuns ou outras condições, então assumimos solução em água pura até saturação.

Passo 2

Entendendo o conceito que vamos usar (explicação didática):
  • Para um sal pouco solúvel que se dissocia segundo a reação
\mathrm{RaSO}_{4}(s)\rightleftharpoons \mathrm{Ra}^{2+}(aq)+\mathrm{SO}_4^{2-}(aq),
seja s a solubilidade molar em \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}. Isso significa que, ao atingir o equilíbrio em água pura, as concentrações serão [\mathrm{Ra}^{2+}]=s e [\mathrm{SO}_4^{2-}]=s.
  • A definição do produto de solubilidade é
K_{ps}=[\mathrm{Ra}^{2+}][\mathrm{SO}_4^{2-}].
  • Substituindo as concentrações em termos de s obtemos
K_{ps}=s\cdot s=s^{2}.
Aqui s é o que queremos encontrar (em mol/L); explicando passo a passo: K_{ps} relaciona a quantidade máxima de íons que podem existir simultaneamente em solução antes de o sal começar a precipitar. Como cada mol de sal libera 1 mol de cada íon, o produto é s^2.

Passo 3

Calcular a solubilidade molar s:
s=\sqrt{K_{ps}}=\sqrt{4,2\times10^{-11}}.
Para facilitar a raiz, reescreve-se 4,2\times10^{-11}=42\times10^{-12}. Assim
s=\sqrt{42}\times10^{-6}.
Estimando \sqrt{42}: \sqrt{36}=6 e \sqrt{49}=7, logo \sqrt{42}\approx6,48. Portanto
s\approx6,48\times10^{-6}\\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}.
(Dica prática: reescrever o expoente ímpar movendo um fator 10^{-1} para formar um expoente par facilita a extração da raiz.)

Passo 4

Converter a solubilidade molar para número de mols dissolvidos em 100\\ \text{mL}:
  • Volume da solução: V=0,100\\ \text{L}.
  • Moles dissolvidos em V: n=s\cdot V. Logo
n=(6,48\times10^{-6})\times0,100=6,48\times10^{-7}\\ \text{mol}.
Expliquei: multiplicar a concentração (mol por litro) pelo volume em litros dá os mols presentes naquele volume.

Passo 5

Converter os mols em massa (mg):
  • Primeiro, calcular a massa molar aproximada de \mathrm{RaSO}_{4}. Usando massas atômicas aproximadas: \mathrm{Ra}\approx226, \mathrm{S}\approx32,06, \mathrm{O}\approx16{,}00.
M(\mathrm{RaSO}_4)\approx226+32{,}06+4\times16{,}00=226+32{,}06+64=322{,}06\\ \text{g}\cdot\text{mol}^{-1}.
  • Massa dissolvida:
m=n\cdot M=(6,48\times10^{-7})\times322{,}06\\ \text{g}.
Calculemos:
m\approx2,09\times10^{-4}\\ \text{g}.
  • Converter para mg ( 1\\ \text{g}=1000\\ \text{mg}):
m\approx2,09\times10^{-4}\\ \text{g}\times1000=0,209\\ \text{mg}.
Portanto aproximadamente 0,209\\ \text{mg} de \mathrm{RaSO}_{4} se dissolvem em 100\\ \text{mL} de água.

Passo 6

Interpretação final e verificação rápida:
  • Comparando com a quantidade adicionada: 25\\ \text{mg} adicionados versus \approx0,21\\ \text{mg} solubilizados. Como 25\\ \text{mg}\gg0,21\\ \text{mg}, a solução ficará saturada e a maior parte do sal permanecerá como sólido não dissolvido.
  • Arredondando conforme algarismos significativos dos dados ( K_{ps} tem dois algarismos), o valor razoável para reportar é 0,21\\ \text{mg}.

Resposta

0,21\\ \text{mg}

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