1. L. Mostre que se a, b \in R, entāo |a+b|=|a|+|b| se e somente se a b \geq 0.

Passo 1

O enunciado dá que a,b\in\mathbb{R} e pede para provar a equivalência lógica
|a+b|=|a|+|b|\quad\text{se e somente se}\quad ab\ge 0.
Ou seja, preciso mostrar duas coisas separadas:
  1. Se |a+b|=|a|+|b| então ab\ge 0.
  2. Se ab\ge 0 então |a+b|=|a|+|b|.
As informações relevantes são apenas que a e b são números reais e as propriedades básicas do valor absoluto que vou usar a seguir.

Passo 2

Lembrando definições e propriedades básicas do valor absoluto (isso é importante para usar depois):
  • Para todo x\in\mathbb{R}, |x|\ge 0.
  • Para todo x\in\mathbb{R}, |x|^2 = x^2. (Porque ao elevar um número real ao quadrado perde-se o sinal; tanto x quanto |x| têm o mesmo quadrado.)
  • Para todo x,y\in\mathbb{R}, |xy|=|x|\,|y|. Em particular, |a||b|=|ab|.
    Também é útil observar que, para números não negativos, tomar quadrado é uma operação que preserva a ordem e igualdade: se u,v\ge 0 então u=v\iff u^2=v^2. Vou usar isso porque ambos os lados da igualdade que aparece no enunciado são não negativos.

Passo 3

Suponha que
|a+b|=|a|+|b|.
Ambos os membros dessa igualdade são não negativos, então podemos elevar ao quadrado sem mudar a equivalência. Assim:
|a+b|^2 = (|a|+|b|)^2.
Pelo item da Passo 2 temos |a+b|^2=(a+b)^2 e |a|^2=a^2,\;|b|^2=b^2. Desenvolvendo ambos os lados:
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,
(|a|+|b|)^2 = a^2 + 2|a|\,|b| + b^2.
Igualando as duas expressões e simplificando a^2+b^2 de ambos os lados obtemos
2ab = 2|a|\,|b|.
Dividindo por 2,
ab = |a|\,|b|.
Usando |a|\,|b| = |ab|, isso se escreve
ab = |ab|.
Por definição do valor absoluto, |ab|=ab ocorre exatamente quando ab\ge 0. Portanto chegamos a
ab\ge 0,
como queríamos.

Passo 4

Agora suponha ab\ge 0. Então |ab| = ab, e usando |ab|=|a|\,|b| obtemos
|a|\,|b| = ab.
De novo, calculemos os quadrados dos dois lados candidatos à igualdade:
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,
(|a|+|b|)^2 = a^2 + 2|a|\,|b| + b^2 = a^2 + 2ab + b^2.
Assim (a+b)^2 = (|a|+|b|)^2. Note que |a+b|\ge 0 e |a|+|b|\ge 0; sendo ambos não negativos, da igualdade dos quadrados segue a igualdade dos próprios números:
|a+b| = |a|+|b|.
(Se preferir uma demonstração sem quadrados: ab\ge0 significa que a e b têm o mesmo sinal ou um deles é zero. Se a\ge0 e b\ge0 então |a+b|=a+b=|a|+|b|. Se a\le0 e b\le0 então a+b\le0 e |a+b|=-(a+b)=-a-b=|a|+|b|.)
Portanto ab\ge 0 implica |a+b|=|a|+|b|.

Passo 5

Juntando os dois sentidos provados nos Passos 3 e 4 concluímos a equivalência desejada: |a+b|=|a|+|b| \iff ab\ge 0.

Resposta

|a+b|=|a|+|b| se e somente se ab\ge 0.

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