- L. Mostre que se
, entāo
se e somente se
.
Passo 1
O enunciado dá que
e pede para provar a equivalência lógica
Ou seja, preciso mostrar duas coisas separadas:
- Se
então . - Se
então .
As informações relevantes são apenas que
e
são números reais e as propriedades básicas do valor absoluto que vou usar a seguir.
Passo 2
Lembrando definições e propriedades básicas do valor absoluto (isso é importante para usar depois):
- Para todo
, . - Para todo
, . (Porque ao elevar um número real ao quadrado perde-se o sinal; tanto quanto têm o mesmo quadrado.) - Para todo
, . Em particular, .
Também é útil observar que, para números não negativos, tomar quadrado é uma operação que preserva a ordem e igualdade: seentão . Vou usar isso porque ambos os lados da igualdade que aparece no enunciado são não negativos.
Passo 3
Suponha que
Ambos os membros dessa igualdade são não negativos, então podemos elevar ao quadrado sem mudar a equivalência. Assim:
Pelo item da Passo 2 temos
e
. Desenvolvendo ambos os lados:
Igualando as duas expressões e simplificando
de ambos os lados obtemos
Dividindo por
,
Usando
, isso se escreve
Por definição do valor absoluto,
ocorre exatamente quando
. Portanto chegamos a
como queríamos.
Passo 4
Agora suponha
. Então
, e usando
obtemos
De novo, calculemos os quadrados dos dois lados candidatos à igualdade:
Assim
. Note que
e
; sendo ambos não negativos, da igualdade dos quadrados segue a igualdade dos próprios números:
(Se preferir uma demonstração sem quadrados:
significa que
e
têm o mesmo sinal ou um deles é zero. Se
e
então
. Se
e
então
e
.)
Portanto
implica
.
Passo 5
Juntando os dois sentidos provados nos Passos 3 e 4 concluímos a equivalência desejada:
.