Seja
. Mostre que
se e somente se
. Analogamente,
se e somente se
.
Passo 1
O enunciado dá duas informações iniciais:
e
. O que pede é mostrar duas equivalências:
- Mostrar que
se e somente se . - Mostrar, de modo análogo, que
se e somente se .
Vou listar claramente o que está pedido (peguei os símbolos diretamente do enunciado):
- Dados:
e . - Provar a equivalência para a desigualdade estrita (``se e somente se’’).
- Provar a analogia para a desigualdade não estrita.
Passo 2
Lembrete e definição fundamental (isto é necessário para entender e provar a equivalência).
Definição do valor absoluto: para qualquer número real
Interpretação intuitiva:
até
. Assim
é a distância entre
e
.
Uma propriedade útil que vem diretamente da definição é: para qualquer
e qualquer
,
e de modo semelhante
Vou usar essas equivalências com
.]
Passo 3
Prova da primeira direção da equivalência estrita:
Assuma que
Assuma que
Subtraindo
dos três termos da desigualdade (isso é permitido e preserva as desigualdades) obtemos
Agora use a propriedade do Passo 2 com
:
é exatamente a condição que equivale a
. Portanto a hipótese implica
.
Passo 4
Prova da direção inversa para a equivalência estrita:
Assuma que
Assuma que
Pela propriedade do Passo 2 com
, isto implica
Somando
a todos os termos desta desigualdade obtemos
que é exatamente a conclusão desejada. Assim mostramos ambas as implicações e, portanto,
Passo 5
Prova da equivalência não estrita (mesma ideia, apenas trocar
por
).
Direção (
): suponha
Subtraindo
de cada termo:
Pela propriedade do Passo 2 com desigualdade não estrita, isto é equivalente a
.
Direção (
): suponha
. Novamente, pela propriedade do Passo 2,
Somando
a tudo dá
Logo as duas condições são equivalentes:
Passo 6
Comentário prático e dica para a prova (pequena aula prática):
- Pensar em
como “a está no centro e está a uma distância menor que de ” ajuda a lembrar essa equivalência imediatamente: é simplesmente o intervalo aberto centrado em de raio . - Operacionalmente, para provar tais equivalências, o truque padrão é substituir
e usar (ou a versão com ). Não precisa inventar nada complicado: é manipulação de desigualdades e a definição do valor absoluto. - Exemplo rápido para fixar: com
e , a condição equivale a . Isso confirma concretamente a interpretação de intervalo centrado em .