Seja \delta>0, a \in \boldsymbol{R}. Mostre que a-\delta<x<a+\delta se e somente se |x-a|<\delta. Analogamente, a-\delta \leq x \leq a+\delta se e somente se |x-a| \leq \delta.

Passo 1

O enunciado dá duas informações iniciais: \delta>0 e a\in\mathbb{R}. O que pede é mostrar duas equivalências:
  1. Mostrar que a-\delta<x<a+\delta se e somente se |x-a|<\delta.
  2. Mostrar, de modo análogo, que a-\delta\le x\le a+\delta se e somente se |x-a|\le \delta.
Vou listar claramente o que está pedido (peguei os símbolos diretamente do enunciado):
  • Dados: \delta>0 e a\in\mathbb{R}.
  • Provar a equivalência para a desigualdade estrita (``se e somente se’’).
  • Provar a analogia para a desigualdade não estrita.

Passo 2

Lembrete e definição fundamental (isto é necessário para entender e provar a equivalência).
Definição do valor absoluto: para qualquer número real y\), \[|y|=\begin{cases} y, & \text{se } y\ge 0,\\[4pt] -y, & \text{se } y<0. \end{cases}
Interpretação intuitiva: |y|\] é a distância de \(y até 0. Assim |x-a| é a distância entre x e a.
Uma propriedade útil que vem diretamente da definição é: para qualquer y\in\mathbb{R} e qualquer \delta>0,
|y|<\delta \quad\Longleftrightarrow\quad -\delta<y<\delta,
e de modo semelhante
|y|\le\delta \quad\Longleftrightarrow\quad -\delta\le y\le\delta.
Vou usar essas equivalências com y=x-a.]

Passo 3

Prova da primeira direção da equivalência estrita:
Assuma que
a-\delta<x<a+\delta.
Subtraindo a dos três termos da desigualdade (isso é permitido e preserva as desigualdades) obtemos
-\delta < x-a < \delta.
Agora use a propriedade do Passo 2 com y=x-a: -\delta< x-a<\delta é exatamente a condição que equivale a |x-a|<\delta. Portanto a hipótese implica |x-a|<\delta.

Passo 4

Prova da direção inversa para a equivalência estrita:
Assuma que
|x-a|<\delta.
Pela propriedade do Passo 2 com y=x-a, isto implica
-\delta < x-a < \delta.
Somando a a todos os termos desta desigualdade obtemos
a-\delta < x < a+\delta,
que é exatamente a conclusão desejada. Assim mostramos ambas as implicações e, portanto,
a-\delta<x<a+\delta \quad\Longleftrightarrow\quad |x-a|<\delta.

Passo 5

Prova da equivalência não estrita (mesma ideia, apenas trocar < por \le).
Direção ( \Rightarrow): suponha
a-\delta \le x \le a+\delta.
Subtraindo a de cada termo:
-\delta \le x-a \le \delta.
Pela propriedade do Passo 2 com desigualdade não estrita, isto é equivalente a |x-a|\le\delta.
Direção ( \Leftarrow): suponha |x-a|\le\delta. Novamente, pela propriedade do Passo 2,
-\delta \le x-a \le \delta.
Somando a a tudo dá
a-\delta \le x \le a+\delta.
Logo as duas condições são equivalentes:
a-\delta\le x\le a+\delta \quad\Longleftrightarrow\quad |x-a|\le\delta.

Passo 6

Comentário prático e dica para a prova (pequena aula prática):
  • Pensar em |x-a|<\delta como “a está no centro e x está a uma distância menor que \delta de a” ajuda a lembrar essa equivalência imediatamente: é simplesmente o intervalo aberto centrado em a de raio \delta.
  • Operacionalmente, para provar tais equivalências, o truque padrão é substituir y=x-a e usar |y|<\delta\iff -\delta<y<\delta (ou a versão com \le). Não precisa inventar nada complicado: é manipulação de desigualdades e a definição do valor absoluto.
  • Exemplo rápido para fixar: com a=3 e \delta=2, a condição |x-3|<2 equivale a 1<x<5. Isso confirma concretamente a interpretação de intervalo centrado em a.

Resposta

a-\delta<x<a+\delta \Longleftrightarrow |x-a|<\delta
a-\delta\le x\le a+\delta \Longleftrightarrow |x-a|\le\delta

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