s'' + 5s = 0, s(0) = 1, s'(0) = 0
encontre a solução geral da equação diferencial e resolva o problema de valor inicial. Determine a amplitude, a frequência, a fase e o período.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de equação diferencial juntos! A gente tem uma equação diferencial do segundo grau com condições iniciais. Vamos precisar usar conceitos de equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, resolver a equação característica, achar a solução geral e, depois, aplicar as condições iniciais para encontrar a solução específica. No final, também vamos determinar a amplitude, frequência, fase e período da solução.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a equação diferencial dada:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, a gente começa encontrando a equação característica associada.

Passo 3

A equação característica para uma equação diferencial da forma é . No nosso caso, e , então a equação característica fica:

Passo 4

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r. Temos:
Aqui, i é a unidade imaginária, pois estamos lidando com raízes negativas.

Passo 5

Quando as raízes da equação característica são complexas, ou seja, da forma , a solução geral da equação diferencial é:
No nosso caso, e , então a solução geral simplifica para:

Passo 6

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de e . As condições são:
Primeiro, calculamos :

Passo 7

Agora, vamos calcular a derivada :
Aplicando a condição :

Passo 8

Com os valores de e encontrados, a solução específica da equação diferencial é:

Passo 9

Agora, vamos identificar a amplitude, frequência, fase e período da solução.
  • Amplitude ( A): O coeficiente que multiplica a função trigonométrica. Aqui, .
  • Frequência angular ( omega): O coeficiente de t dentro da função trigonométrica. Aqui, .
  • Fase ( phi): O deslocamento horizontal da função. Como não há termos adicionais dentro do cosseno além de , a fase .
  • Período ( T): O tempo que leva para a função completar uma oscilação completa, calculado por . Então:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Aplicando as condições iniciais, a solução específica é:
Os parâmetros são:
  • Amplitude: 1
  • Frequência angular: raiz(5) rad/s
  • Fase: 0
  • Período: segundos

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