encontre a solução geral da equação diferencial e resolva o problema de valor inicial. Determine a amplitude, a frequência, a fase e o período.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de equação diferencial juntos! A gente tem uma equação diferencial do segundo grau com condições iniciais. Vamos precisar usar conceitos de equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, resolver a equação característica, achar a solução geral e, depois, aplicar as condições iniciais para encontrar a solução específica. No final, também vamos determinar a amplitude, frequência, fase e período da solução.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a equação diferencial dada:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, a gente começa encontrando a equação característica associada.
Passo 3
A equação característica para uma equação diferencial da forma é . No nosso caso, e , então a equação característica fica:
Passo 4
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r. Temos:
Aqui, i é a unidade imaginária, pois estamos lidando com raízes negativas.
Passo 5
Quando as raízes da equação característica são complexas, ou seja, da forma , a solução geral da equação diferencial é:
No nosso caso, e , então a solução geral simplifica para:
Passo 6
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de e . As condições são:
Primeiro, calculamos :
Passo 7
Agora, vamos calcular a derivada :
Aplicando a condição :
Passo 8
Com os valores de e encontrados, a solução específica da equação diferencial é:
Passo 9
Agora, vamos identificar a amplitude, frequência, fase e período da solução.
Amplitude (A): O coeficiente que multiplica a função trigonométrica. Aqui, .
Frequência angular (omega): O coeficiente de t dentro da função trigonométrica. Aqui, .
Fase (phi): O deslocamento horizontal da função. Como não há termos adicionais dentro do cosseno além de , a fase .
Período (T): O tempo que leva para a função completar uma oscilação completa, calculado por . Então:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Aplicando as condições iniciais, a solução específica é: