Use o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução da equação diferencial dada.
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem que é
para
. Já sabemos que uma solução dessa equação é
. Nosso objetivo aqui é encontrar uma segunda solução usando o método de redução de ordem. Isso significa que vamos usar a solução conhecida
para achar outra função que também resolve a equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o método de redução de ordem. Quando já conhecemos uma solução
de uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem, podemos procurar uma segunda solução na forma
, onde
é uma função que precisamos encontrar. Esse método simplifica a resolução porque reduz a equação original para uma equação de primeira ordem em termos de
.
Passo 3
Vamos assumir que
. Agora, precisamos calcular as derivadas de
:
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Vamos simplificar isso passo a passo.
Passo 5
Distribuindo os termos:
Simplificando termos semelhantes:
Passo 6
Agora, podemos dividir toda a equação por
(já que
) para simplificar:
Isso é uma equação diferencial de primeira ordem para
.
Passo 7
Vamos fazer uma substituição para resolver essa equação. Seja
. Então, a equação fica:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem que podemos resolver usando fator integrante.
Passo 8
Para resolver
, vamos reescrever como:
O fator integrante
é dado por:
Passo 9
Multiplicamos toda a equação por
:
Isso pode ser escrito como:
Integrando ambos os lados:
Onde
é uma constante de integração. Então:
Passo 10
Lembrando que
, temos:
Integrando novamente para encontrar
:
Onde
é outra constante de integração. Para simplicidade, podemos considerar
(pois a constante pode ser absorvida na solução final):
Passo 11
Agora, voltamos à nossa expressão para
:
Como
já é uma solução conhecida, a parte
não nos dá uma solução nova. Portanto, consideramos apenas o termo:
Resposta
A segunda solução da equação diferencial é
.