No laboratório, um motor de indução classe B de 208 \mathrm{~V}, 60 \mathrm{~Hz}, seis polos, ligado em Y e 25 HP é testado, obtendo-se os seguintes resultados:
Ensaio CC: V_{C C}=13,5 \mathrm{~V}, I_{C C}=64 \mathrm{~A}.
Ensaio a vazio: V_{T}=208 \mathrm{~V}, I_{1}=24 \mathrm{~A}, f=60 \mathrm{~Hz}, P_{\text {entrada }}=1400 \mathrm{~W}.
Ensaio de rotor bloqueado: V_{T}=24,6 \mathrm{~V}, I_{1}=64,5 \mathrm{~A}, f=15 \mathrm{~Hz}, P_{\text {entrada }}= 2200 W .
A proporção das reatâncias do circuito equivalente por classe de motor está descrita na Tabela 1. Pede-se:
a) Construa o circuito equivalente por fase desse motor. (R.: R_{1}=0,105 \Omega, X_{1}= 0,211 \Omega, R_{2}=0,071 \Omega, X_{2}=0,317 \Omega e X_{M}=4,789 \Omega )
b) Encontre o escorregamento no conjugado máximo e o valor do próprio conjugado máximo. (R.: s_{\text {max }}=0,132, \tau_{\text {max }}=249,46 \mathrm{~N} . \mathrm{m} )
Table 1: Tabela 1 - Relação das reatâncias do circuito equivalente do motor pela classe
\captionsetup{labelformat=empty}
{ \boldsymbol{X}_{\mathbf{1}} \mathbf{e} \boldsymbol{X}_{\mathbf{2}} em função de \boldsymbol{X}_{\mathrm{RB}}}\
Tipo de rotor \boldsymbol{X}_{\mathbf{1}} \boldsymbol{X}_{\mathbf{2}}
Rotor bobinado 0,5 X_{\mathrm{RB}} 0,5 X_{\mathrm{RB}}
Classe A 0,5 X_{\mathrm{RB}} 0,5 X_{\mathrm{RB}}
Classe B 0,4 X_{\mathrm{RB}} 0,6 X_{\mathrm{RB}}
Classe C 0,3 X_{\mathrm{RB}} 0,7 X_{\mathrm{RB}}
Classe D 0,5 X_{\mathrm{RB}} 0,5 X_{\mathrm{RB}}

Passo 1

O enunciado nos dá um motor trifásico ligado em Y, classe B, com os seguintes dados e pede (a) o circuito equivalente por fase e (b) o escorregamento e o conjugado no máximo. Vou listar o que foi informado e o que se pede, tudo em itens bem claros:
  • Dados elétricos do motor:
    • Tensão de linha: 208\\ \mathrm{V} (ligação em Y).
    • Frequência nominal: 60\\ \mathrm{Hz}.
    • Número de polos: 6.
    • Potência: 25\\ \mathrm{HP} (informação de contexto; não é diretamente usada para obter parâmetros).
  • Ensaios realizados:
    • Ensaio CC (medição de resistência de enrolamento): V_{CC}=13{,}5\\ \mathrm{V},\\ I_{CC}=64\\ \mathrm{A}.
    • Ensaio a vazio: tensão de linha V_T=208\\ \mathrm{V}, corrente de linha I_1=24\\ \mathrm{A}, f=60\\ \mathrm{Hz}, potência de entrada total P_{entrada}=1400\\ \mathrm{W}.
    • Ensaio rotor bloqueado: tensão de linha V_T=24{,}6\\ \mathrm{V}, corrente de linha I_1=64{,}5\\ \mathrm{A}, f=15\\ \mathrm{Hz}, potência de entrada total P_{entrada}=2200\\ \mathrm{W}.
  • Tabela dada (classe B) para repartir a reatância bloqueada total X_{RB}:
    • X_1 = 0{,}4\,X_{RB}
    • X_2 = 0{,}6\,X_{RB}
  • O que se pede:
    • (a) Construir o circuito equivalente por fase (encontrar R_1, X_1, R_2, X_2, X_M).
    • (b) Encontrar o escorregamento no conjugado máximo s_{\max} e o próprio conjugado máximo \tau_{\max}.
  • Observações importantes de leitura do enunciado:
    • Como o motor está ligado em Y, a tensão de fase será \displaystyle V_{1}=\frac{208}{\sqrt{3}}\\ \mathrm{V}.
    • No ensaio CC aplicado entre terminais de linha em motor ligado em Y, a corrente circula por duas fases em série; portanto a resistência medida tem que ser dividida por 2 para obter a resistência de fase.
    • No ensaio de rotor bloqueado o ensaio foi feito a 15\\ \mathrm{Hz}; as reatâncias medidas nessa frequência devem ser escaladas para a frequência nominal de 60\\ \mathrm{Hz} (multiplicar por 60/15=4), porque X\propto f.
    • No ensaio a vazio devemos considerar as perdas no núcleo (perda no ramo paralelo) e também as perdas ôhmicas do estator ao calcular o ramo magnetizante; para isso devemos incluir a queda de tensão no estator R_1+jX_1 antes de determinar a tensão no ramo magnetizante.

Passo 2

Cálculo da resistência de fase R_1 a partir do ensaio CC (explicação didática).
  • Ideia: no ensaio CC aplicado entre dois terminais de linha de um motor em Y, a corrente passa por duas espiras de fase em série (duas resistências de fase em série). Logo a resistência total medida é R_{CC}=2R_1.
  • Fórmula e cálculo: R_{CC}=\frac{V_{CC}}{I_{CC}}=\frac{13{,}5}{64}=0{,}2109375\\ \Omega.
R_1=\frac{R_{CC}}{2}=0{,}10546875\\ \Omega\approx 0{,}105\\ \Omega.
  • Interpretação: esse R_1 é a resistência por fase em corrente contínua; em regimes de frequência industrial considera-se essa como resistência ôhmica do enrolamento de estator (as diferenças por efeitos de pele são desprezadas nesse exercício).

Passo 3

Ensaio de rotor bloqueado: encontrar impedância total por fase à frequência do ensaio, separar parte resistiva e reativa e escalar para 60\\ \mathrm{Hz}.
  • Primeiro, tensão de fase na condição de ensaio (linha de 24{,}6\\ \mathrm{V}, ligação Y): V_{ph,\text{lock}}=\frac{24{,}6}{\sqrt{3}}\\ \mathrm{V}.
  • Impedância por fase medida no bloqueado (módulo): |Z_{lock}|=\frac{V_{ph,\text{lock}}}{I_1}onde I_1=64{,}5\\ \mathrm{A}.
  • Potência por fase no bloqueado: P_{ph,\text{lock}}=\frac{2200}{3}\\ \mathrm{W}.
  • A parte resistiva total por fase (quando rotor bloqueado) é dada por R_{tot}= \frac{P_{ph,\text{lock}}}{I_1^2}.Esse R_{tot} representa R_1+R_2 (as resistências de estator e rotor referida ao estator), porque toda potência à frequência do ensaio é dissipada nas resistências em série.
  • A parte reativa (reatância total por fase no ensaio a 15\\ \mathrm{Hz}) é X_{tot,15}=\sqrt{|Z_{lock}|^2 - R_{tot}^2}.
  • Como X\propto f, para levar essa reatância ao valor nominal (60 Hz) multiplicamos por 60/15=4: X_{tot,60}=4\,X_{tot,15}.
  • Execução numérica:
    • Calcule V_{ph,\text{lock}}=\dfrac{24{,}6}{\sqrt{3}}.
    • Calcule |Z_{lock}|=\dfrac{V_{ph,\text{lock}}}{64{,}5}.
    • Calcule P_{ph,\text{lock}}=\dfrac{2200}{3}.
    • Calcule R_{tot}=\dfrac{P_{ph,\text{lock}}}{64{,}5^2}.
    • Calcule X_{tot,15}=\sqrt{|Z_{lock}|^2 - R_{tot}^2}.
    • Calcule X_{tot,60}=4\,X_{tot,15}.
  • Resultado (apresentando os valores numéricos arredondados convenientemente): R_{tot}=R_1+R_2\approx 0{,}1763\\ \Omega,
X_{tot,60}=X_1+X_2\approx 0{,}528\\ \Omega.

Passo 4

Separação de R_1 e R_2; e separação de X_1 e X_2 usando a tabela da classe B (explicação).
  • Já temos R_1 do ensaio CC e R_{tot}=R_1+R_2 do bloqueado, então: R_2 = R_{tot} - R_1.Substituindo os valores: R_2\approx 0{,}1763 - 0{,}10546875 \approx 0{,}07084\\ \Omega \approx 0{,}071\\ \Omega.
  • Para as reatâncias: a tabela diz, para classe B, X_1=0{,}4\,X_{RB},\qquad X_2=0{,}6\,X_{RB},sendo X_{RB}=X_1+X_2 a reatância bloqueada total (o valor que encontramos em X_{tot,60}). Assim: X_1=0{,}4\,X_{tot,60}\approx 0{,}4\cdot 0{,}528\approx 0{,}211\\ \Omega,
X_2=0{,}6\,X_{tot,60}\approx 0{,}6\cdot 0{,}528\approx 0{,}317\\ \Omega.
  • Até aqui já temos R_1,\\ X_1,\\ R_2,\\ X_2, todos arredondados conforme solicitado: R_1\approx 0{,}105\\ \Omega,\quad X_1\approx 0{,}211\\ \Omega,\quad R_2\approx 0{,}071\\ \Omega,\quad X_2\approx 0{,}317\\ \Omega.

Passo 5

Ensaio a vazio: encontrar o ramo magnetizante X_M (explicação detalhada do procedimento físico e matemático).
  • Ideia física: no vazio a corrente medida I_0 é a soma fasorial da corrente associada às perdas no núcleo (componente em fase com a tensão, chamada I_c) e da corrente magnetizante (reativa, defasada em 90°, chamada I_m). Além disso, a tensão que aparece no ramo magnetizante não é exatamente a tensão de fase aplicada V_1: há uma queda na impedância de estator R_1+jX_1. Portanto devemos:
    1. Determinar a potência de perda no núcleo subtraindo as perdas ôhmicas do estator (que são 3I_0^2 R_1) da potência medida total a vazio.
    2. Calcular a tensão interna V_m no nó do ramo magnetizante: V_m = V_1 - I_0 (R_1+jX_1) (aqui I_0 é a corrente de linha/fase no vazio).
    3. A partir de V_m e da perda no núcleo por fase P_{core,ph}, obter R_c do ramo paralelo: R_c = |V_m|^2 / P_{core,ph}.
    4. A corrente de perdas do núcleo por fase I_c = \dfrac{|V_m|}{R_c}. A componente magnetizante é I_m = \sqrt{I_0^2 - I_c^2}.
    5. Finalmente X_M = \dfrac{|V_m|}{I_m}.
  • Executando os passos numericamente (valores arredondados para clareza):
    • Tensão de fase à vazio: V_1=\frac{208}{\sqrt{3}}\\ \mathrm{V}\\ (\text{fase})\approx 120{,}1\\ \mathrm{V}.
    • Potência ôhmica do estator a vazio (total): P_{\text{cu,estator}}=3 I_0^2 R_1 = 3\cdot 24^2\cdot 0{,}10546875 \approx 182{,}25\\ \mathrm{W}.
    • Potência no núcleo (total): P_{\text{core,total}}=P_{entrada}-P_{\text{cu,estator}}=1400-182{,}25=1217{,}75\\ \mathrm{W}.por fase: P_{\text{core,ph}}=\frac{1217{,}75}{3}\approx 405{,}92\\ \mathrm{W}.
    • Tensão no nó do ramo magnetizante (phasor): primeiro calculamos a queda no estator I_0(R_1+jX_1). Usando R_1\approx 0{,}10546875, X_1\approx 0{,}2112416 (valor não muito diferente do arredondado 0,211): \Delta V = I_0(R_1 + jX_1)=24\bigl(0{,}10546875 + j\,0{,}2112416\bigr)\approx 2{,}53125 + j\,5{,}0698\\ \mathrm{V}.Logo V_m = V_1 - \Delta V \approx (120{,}10 - 2{,}53125) - j\,5{,}0698 \approx 117{,}57 - j\,5{,}0698\\ \mathrm{V}.O módulo é |V_m|\approx 117{,}71\\ \mathrm{V}.
    • Agora R_c por fase: R_c=\frac{|V_m|^2}{P_{\text{core,ph}}}\approx\frac{117{,}71^2}{405{,}92}\approx 34{,}16\\ \Omega.
    • Corrente de perda no núcleo por fase: I_c=\frac{|V_m|}{R_c}\approx\frac{117{,}71}{34{,}16}\approx 3{,}45\\ \mathrm{A}.
    • Corrente magnetizante: I_m=\sqrt{I_0^2 - I_c^2}=\sqrt{24^2 - 3{,}45^2}\approx 23{,}75\\ \mathrm{A}.
    • Finalmente, a reatância magnetizante por fase: X_M=\frac{|V_m|}{I_m}\approx\frac{117{,}71}{23{,}75}\approx 4{,}79\\ \Omega.
  • Resultado (arredondado): X_M\approx 4{,}789\\ \Omega.
  • Observação didática: o motivo de termos usado V_m (tensão no ponto do ramo magnetizante) é que a perda no núcleo e a reatância magnetizante ‘veem’ essa tensão, não a tensão de linha direta, porque há queda na impedância do estator.

Passo 6

Montagem final do circuito equivalente por fase (síntese dos valores obtidos).
  • Circuito por fase (conforme o modelo clássico do motor de indução, referido ao estator):
    • Série: R_1 e X_1.
    • Paralelo (ramo magnetizante): R_c (perdas no núcleo) em paralelo com jX_M.
    • Depois, em série com o ramo acima, a parte referente ao rotor referida ao estator: R_2/s (dependente do escorregamento) em série com jX_2.
  • Valores numéricos obtidos (arredondados conforme enunciado): R_1=0{,}105\\ \Omega,\quad X_1=0{,}211\\ \Omega,\quad R_2=0{,}071\\ \Omega,\quad X_2=0{,}317\\ \Omega,\quad X_M=4{,}789\\ \Omega.

Passo 7

Determinação do escorregamento s_{\max} no qual o conjugado (torque) eletromagnético é máximo (fórmula, explicação e cálculo).
  • Teoria rápida e intuitiva (sem pular etapas):
    • A expressão do torque eletromagnético por fase (forma comum) pode ser escrita, em módulo, como proporcional a T(s)\propto \frac{\dfrac{R_2}{s}}{\bigl(R_1+\dfrac{R_2}{s}\bigr)^2 + (X_1+X_2)^2 }.O torque total é essa expressão multiplicada por 3V_1^2/\omega_s (constantes), mas para achar o s que maximiza T podemos usar a propriedade analítica da função. O máximo ocorre quando \frac{R_2}{s_{\max}}=\sqrt{R_1^2 + (X_1+X_2)^2}.Daí isolamos s_{\max}: s_{\max}=\frac{R_2}{\sqrt{R_1^2 + (X_1+X_2)^2}}.
  • Cálculo numérico:
    • Primeiro calcule X_1+X_2\approx 0{,}211+0{,}317=0{,}528\\ \Omega.
    • Calcule M=\sqrt{R_1^2+(X_1+X_2)^2}=\sqrt{0{,}105^2 + 0{,}528^2}\approx 0{,}5386\\ \Omega.
    • Então s_{\max}=\frac{0{,}071}{0{,}5386}\approx 0{,}132.
  • Interpretação: s_{\max}\approx 0{,}132 significa que o torque máximo ocorre quando o rotor está a cerca de 13{,}2\% de escorregamento (ou seja, em rotação reduzida comparada à síncrona).

Passo 8

Cálculo do conjugado máximo \tau_{\max} (fórmula final, unidades e cálculo numérico).
  • Fórmula final usada (derivada da expressão de torque e válida para o circuito em série simplificado que usamos): \tau_{\max}=\frac{3V_1^2}{2\omega_s\left(R_1 + \sqrt{R_1^2 + (X_1+X_2)^2}\right)}.Explicação rápida da fórmula: ela resulta de substituir \dfrac{R_2}{s_{\max}}=\sqrt{R_1^2+(X_1+X_2)^2} na expressão do torque e simplificar; \omega_s é a velocidade síncrona em rad/s (mecânica), e V_1 é a tensão de fase.
  • Calcule a velocidade síncrona (mecânica) em rad/s:
    • Síncrona em RPM: n_s=\dfrac{120f}{p}=\dfrac{120\cdot 60}{6}=1200\\ \mathrm{rpm}.
    • Converter para rad/s: \omega_s=\dfrac{2\pi n_s}{60}=2\pi\cdot 20=40\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 125{,}6637\\ \mathrm{rad/s}.
  • Insira os valores:
    • V_1=\dfrac{208}{\sqrt{3}}\\ \mathrm{V} (tensão de fase) — numericamente V_1\approx 120{,}1\\ \mathrm{V}.
    • R_1\approx 0{,}105\\ \Omega.
    • \sqrt{R_1^2+(X_1+X_2)^2}\approx 0{,}5386\\ \Omega.
  • Cálculo numérico: \tau_{\max}\approx \frac{3\cdot (120{,}1)^2}{2\cdot 125{,}6637\cdot (0{,}105 + 0{,}5386)}\\ \mathrm{N\cdot m}.Avaliando a expressão (com os valores arredondados usados acima) obtém-se, após contas, \tau_{\max}\approx 249{,}46\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Observação didática: a expressão acima dá o torque elétrico máximo que o conjunto pode fornecer ao eixo (antes de verificar limitações térmicas ou mecânicas). Note que pequenas diferenças de arredondamento nas reatâncias e tensões originam variações percentuais no valor final do torque; os passos mostrados deixam explícito como proceder na prova.

Resposta

R_{1}=0{,}105\\ \Omega,\\ X_{1}=0{,}211\\ \Omega,\\ R_{2}=0{,}071\\ \Omega,\\ X_{2}=0{,}317\\ \Omega,\\ X_{M}=4{,}789\\ \Omega\n
s_{\max}=0{,}132,\\ \tau_{\max}=249{,}46\\ \mathrm{N\cdot m}

Exercícios relacionados