Um motor de indução de
, quatro polos e ligado em Y tem potência nominal de 25 HP . Os parâmetros do seu circuito equivalente são:
. Para um escorregamento de
, encontre:
a) A corrente de linha; (R.:
)
b) O fator de potência do estator; (R.:
atrasado)
c) A frequência do rotor; (R.:
)
d) As perdas no cobre do estator; (R.:
)
e) A potência de entreferro; (R.:
)
f) A potência convertida da forma mecânica em elétrica
; (R.:
)
g) O conjugado induzido; (R.:
)
h) O conjugado de carga; (R.:
)
i) A eficiência total da máquina. (R.:
)
a) A corrente de linha; (R.:
b) O fator de potência do estator; (R.:
c) A frequência do rotor; (R.:
d) As perdas no cobre do estator; (R.:
e) A potência de entreferro; (R.:
f) A potência convertida da forma mecânica em elétrica
g) O conjugado induzido; (R.:
h) O conjugado de carga; (R.:
i) A eficiência total da máquina. (R.:
Passo 1
O enunciado pede, para um motor de indução ligado em Y com escorregamento
:
a) a corrente de linha;
b) o fator de potência do estator;
c) a frequência do rotor;
d) as perdas no cobre do estator;
e) a potência de entreferro (potência que atravessa o entreferro, “air-gap power”);
f) a potência convertida da forma elétrica para mecânica ;
g) o conjugado (torque) induzido;
h) o conjugado de carga (torque útil no eixo);
i) a eficiência total da máquina.
a) a corrente de linha;
b) o fator de potência do estator;
c) a frequência do rotor;
d) as perdas no cobre do estator;
e) a potência de entreferro (potência que atravessa o entreferro, “air-gap power”);
f) a potência convertida da forma elétrica para mecânica
g) o conjugado (torque) induzido;
h) o conjugado de carga (torque útil no eixo);
i) a eficiência total da máquina.
Dados fornecidos (vou listar tudo que vem no enunciado, usarei esses valores explicitamente nas contas):
- Tensão de linha
(ligação Y). - Frequência
. - Polos
. - Potência nominal
(só para referência). - Parâmetros do circuito equivalente referidos ao estator:
- Perdas adicionais indicadas: perdas por atrito e ventilação
, perdas no núcleo , perdas suplementares . - Escorregamento
.
Observação: todos os cálculos serão feitos com as grandezas referidas ao estator (correntes e impedâncias já estão nesse referencial), e usarei o circuito equivalente clássico:
em série com o paralelo entre
e
. A corrente de linha em Y é igual à corrente de fase. A partir dali vamos calcular correntes, potências e torques passo a passo.
Passo 2
Calcular a tensão de fase e a impedância série do estator (preparando o circuito):
A tensão de fase em conexão Y é
A tensão de fase em conexão Y é
Substituindo:
A impedância série do estator é
Explicação rápida (didática): em Y cada fase “vê” a tensão de fase
. O circuito equivalente por fase é:
aplicada em série a
e ao paralelo entre a reatância de magnetização
e a impedância do rotor referida
.
Passo 3
Calcular as impedâncias das duas ramas em paralelo (magnetização e rotor referido):
Impedância de magnetização:
Impedância de magnetização:
Impedância do rotor referido:
Agora calculamos a impedância equivalente do paralelo
entre
e
. Vou usar a técnica das admitâncias (mais prática em paralelo):
Admitância do magnetismo:
Admitância do magnetismo:
Admitância do rotor:
Somando as admitâncias:
Inverso para obter a impedância equivalente do paralelo:
Explicação: admittance é
. Em paralelo somamos admitâncias; depois invertendo temos a impedância equivalente. Isso evita manipular frações complexas diretamente.
Passo 4
Calcular a impedância total vista pela fonte e a corrente por fase (igual à corrente de linha em Y):
Impedância total por fase:
Impedância total por fase:
Módulo e ângulo de
:
Corrente de fase (que é a corrente de linha, pois ligação Y):
Comentário didático: a corrente fica atrasada (ângulo negativo) porque a máquina apresenta reatância líquida indutiva. O módulo da corrente é
e o ângulo é
.
Passo 5
Resposta da letra (a) e cálculo do fator de potência (letra b):
a) A corrente de linha é a corrente de fase em Y; portanto
a) A corrente de linha é a corrente de fase em Y; portanto
b) O fator de potência do estator é o cosseno do ângulo entre tensão e corrente, isto é
Explicação: fator de potência é
com
= ângulo da corrente em relação à tensão. Como a corrente atrasa, diz-se “atrasado”.
Passo 6
Calcular a frequência do rotor (letra c):
A frequência elétrica no rotor (frequência das correntes induzidas no rotor) é proporcional ao escorregamento:
A frequência elétrica no rotor (frequência das correntes induzidas no rotor) é proporcional ao escorregamento:
Substituindo:
Explicação: no rotor de um indutor, quando há escorregamento
a frequência das correntes induzidas no rotor é
vezes a frequência do estator.
Passo 7
Calcular as perdas no cobre do estator (letra d):
As perdas no cobre do estator por fase são ; total trifásico:
As perdas no cobre do estator por fase são
Usando
e
:
Explicação: perda ôhmica em cada fase é
; para trifásico somamos as três fases.
Passo 8
Calcular a corrente do rotor referido e a potência de entreferro (letra e):
Primeiro encontramos a tensão no nó entre e o paralelo (tensão no paralelo), que é a tensão aplicada às ramas magnetização e rotor. Essa tensão é simplesmente a queda em
dada pela corrente:
Primeiro encontramos a tensão no nó entre
Magnitude aproximada calculada:
Corrente do rotor referido (por fase) é:
Agora a potência que atravessa o entreferro (air-gap power) por fase é a potência total entregue à impedância
(a parte real da rama rotor vista como
). Em total trifásico:
Substituindo
:
Explicação: a potência que passa pelo entreferro é a potência dissipada na resistência
da rama do rotor (essa resistência representa a transformação das perdas elétricas do rotor mais a potência destinada à conversão mecânica).
Passo 9
Calcular a potência convertida para mecânica (letra f) e as perdas no cobre do rotor:
Da potência no ramo (que é
) uma fração
é dissipada como perdas ôhmicas no rotor (perdas no cobre do rotor) e a restante
é a potência convertida em forma mecânica. Formalmente:
Da potência no ramo
Usando os valores:
Explicação: a resistência
dissipa a parcela
da potência do ramo (isso é a razão pela qual
).
Passo 10
Calcular o conjugado induzido (torque eletromagnético) — letra g:
Primeiro calculamos a velocidade síncrona e a velocidade mecânica do rotor:
Velocidade síncrona em rpm:
Primeiro calculamos a velocidade síncrona e a velocidade mecânica do rotor:
Velocidade síncrona em rpm:
Velocidade síncrona em rad/s:
Velocidade mecânica do rotor (considerando o escorregamento):
O torque eletromagnético desenvolvido (induzido) é a potência convertida dividida pela velocidade mecânica:
Explicação: potência mecânica gerada interna
= torque × velocidade angular do rotor; rearranjando dá o torque.
Passo 11
Calcular o conjugado de carga (torque útil no eixo) — letra h:
A potência útil de eixo (potência entregue à carga) é a potência convertida menos as perdas mecânicas (aquelas que acontecem após a conversão): aqui subtrai-se as perdas por atrito/ventilação , as perdas no núcleo
e as perdas suplementares
conforme os dados fornecidos. (Observação: algumas práticas consideram o núcleo como perda elétrica no estator; aqui, para obter o mesmo resultado pedido no enunciado, subtrai-se esse valor também das potências mecânicas entregues à carga). Assim:
A potência útil de eixo (potência entregue à carga) é a potência convertida menos as perdas mecânicas (aquelas que acontecem após a conversão): aqui subtrai-se as perdas por atrito/ventilação
Substituindo:
O torque de carga é
Comentário: estou seguindo a convenção usada no enunciado para obter o valor pedido (subtraindo as três perdas indicadas).
Passo 12
Calcular a eficiência total da máquina (letra i):
A potência de entrada elétrica pode ser obtida diretamente pela fórmula trifásica:
A potência de entrada elétrica pode ser obtida diretamente pela fórmula trifásica:
Usando
:
A eficiência é a razão entre potência útil de saída e potência de entrada:
Verificação alternativa (soma das perdas): podemos somar as perdas conhecidas e ver que
que dá valor próximo ao usado acima; essa consistência confirma o cálculo.
Resposta
a)
b) atrasado
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)