Um motor de indução de 460 \mathrm{~V}, 60 \mathrm{~Hz}, quatro polos e ligado em Y tem potência nominal de 25 HP . Os parâmetros do seu circuito equivalente são: R_{1}=0,15 \Omega, X_{1}= 0,852 \Omega, R_{2}=0,154 \Omega, X_{2}=1,066 \Omega, X_{M}=20 \Omega, P_{\mathrm{AeV}}=400 \mathrm{~W}, P_{\text {núcleo }}=400 \mathrm{We} P_{\text {suplementares }}=150 \mathrm{~W}ú. Para um escorregamento de 2 \%, encontre:
a) A corrente de linha; (R.: I_{L}=35,5 \angle-33,2^{\circ} \mathrm{A} )
b) O fator de potência do estator; (R.: \mathrm{FP}=0,837 atrasado)
c) A frequência do rotor; (R.: f_{\mathrm{re}}=1,2 \mathrm{~Hz} )
d) As perdas no cobre do estator; (R.: P_{\text {PCE }}=567 \mathrm{~W} )
e) A potência de entreferro; (R.: P_{\mathrm{EF}}=23,15 \mathrm{~kW} )
f) A potência convertida da forma mecânica em elétrica P_{\text {conv }}; (R.: P_{\text {conv }}= 22,69 \mathrm{~kW} )
g) O conjugado induzido; (R.: \tau_{\text {ind }}=122,8 \mathrm{~N} . \mathrm{m} )
h) O conjugado de carga; (R.: \tau_{\text {carga }}=117,7 \mathrm{~N} . \mathrm{m} )
i) A eficiência total da máquina. (R.: \eta=91,7 \% )

Passo 1

O enunciado pede, para um motor de indução ligado em Y com escorregamento s=2\%:
a) a corrente de linha;
b) o fator de potência do estator;
c) a frequência do rotor;
d) as perdas no cobre do estator;
e) a potência de entreferro (potência que atravessa o entreferro, “air-gap power”);
f) a potência convertida da forma elétrica para mecânica P_{\text{conv}};
g) o conjugado (torque) induzido;
h) o conjugado de carga (torque útil no eixo);
i) a eficiência total da máquina.
Dados fornecidos (vou listar tudo que vem no enunciado, usarei esses valores explicitamente nas contas):
  • Tensão de linha V_L=460\\ \mathrm{V} (ligação Y).
  • Frequência f=60\\ \mathrm{Hz}.
  • Polos =4.
  • Potência nominal 25\\ \mathrm{HP} (só para referência).
  • Parâmetros do circuito equivalente referidos ao estator: R_1=0,15\\ \Omega,\; X_1=0,852\\ \Omega,\; R_2'=0,154\\ \Omega,\; X_2'=1,066\\ \Omega,\; X_M=20\\ \Omega.
  • Perdas adicionais indicadas: perdas por atrito e ventilação P_{\mathrm{AeV}}=400\\ \mathrm{W}, perdas no núcleo P_{\text{núcleo}}=400\\ \mathrm{W}ú, perdas suplementares P_{\text{suplementares}}=150\\ \mathrm{W}.
  • Escorregamento s=0,02.
Observação: todos os cálculos serão feitos com as grandezas referidas ao estator (correntes e impedâncias já estão nesse referencial), e usarei o circuito equivalente clássico: R_1+jX_1 em série com o paralelo entre jX_M e R_2'/s + jX_2'. A corrente de linha em Y é igual à corrente de fase. A partir dali vamos calcular correntes, potências e torques passo a passo.

Passo 2

Calcular a tensão de fase e a impedância série do estator (preparando o circuito):
A tensão de fase em conexão Y é
V_{\text{ph}}=\frac{V_L}{\sqrt{3}}.
Substituindo:
V_{\text{ph}}=\frac{460}{\sqrt{3}}\approx 265{,}58\\ \mathrm{V}.
A impedância série do estator é
Z_1=R_1+jX_1=0{,}15+j0{,}852\\ \Omega.
Explicação rápida (didática): em Y cada fase “vê” a tensão de fase V_{\text{ph}}. O circuito equivalente por fase é: V_{\text{ph}} aplicada em série a Z_1 e ao paralelo entre a reatância de magnetização jX_M e a impedância do rotor referida Z_r=R_2'/s + jX_2'.

Passo 3

Calcular as impedâncias das duas ramas em paralelo (magnetização e rotor referido):
Impedância de magnetização:
Z_M=jX_M=j\,20\\ \Omega.
Impedância do rotor referido:
Z_r=\frac{R_2'}{s}+jX_2'=\frac{0{,}154}{0{,}02}+j1{,}066=7{,}7+j1{,}066\\ \Omega.
Agora calculamos a impedância equivalente do paralelo Z_p entre Z_M e Z_r. Vou usar a técnica das admitâncias (mais prática em paralelo):
Admitância do magnetismo:
Y_M=\frac{1}{Z_M}=\frac{1}{j20}=-j0{,}05\\ \mathrm{S}.
Admitância do rotor:
Y_r=\frac{1}{Z_r}=\frac{1}{7{,}7+j1{,}066}=\frac{7{,}7-j1{,}066}{7{,}7^2+1{,}066^2}\approx 0{,}1274-j0{,}01764\\ \mathrm{S}.
Somando as admitâncias:
Y_p=Y_M+Y_r\approx 0{,}1274 - j0{,}06764\\ \mathrm{S}.
Inverso para obter a impedância equivalente do paralelo:
Z_p=\frac{1}{Y_p}\approx 6{,}124 + j3{,}251\\ \Omega.
Explicação: admittance é 1/Z. Em paralelo somamos admitâncias; depois invertendo temos a impedância equivalente. Isso evita manipular frações complexas diretamente.

Passo 4

Calcular a impedância total vista pela fonte e a corrente por fase (igual à corrente de linha em Y):
Impedância total por fase:
Z_{\text{tot}}=Z_1+Z_p=(0{,}15+j0{,}852)+(6{,}124+j3{,}251)=6{,}274 + j4{,}103\\ \Omega.
Módulo e ângulo de Z_{\text{tot}}:
|Z_{\text{tot}}|=\sqrt{6{,}274^2+4{,}103^2}\approx 7{,}498\\ \Omega,\qquad \angle Z_{\text{tot}}=\arctan\!\left(\frac{4{,}103}{6{,}274}\right)\approx 33{,}19^\circ.
Corrente de fase (que é a corrente de linha, pois ligação Y):
I_{\text{ph}}=\frac{V_{\text{ph}}}{Z_{\text{tot}}}=\frac{265{,}58}{6{,}274+j4{,}103}\approx 35{,}43\angle -33{,}19^\circ\\ \mathrm{A}.
Comentário didático: a corrente fica atrasada (ângulo negativo) porque a máquina apresenta reatância líquida indutiva. O módulo da corrente é V_{\text{ph}}/|Z_{\text{tot}}| e o ângulo é -\angle Z_{\text{tot}}.

Passo 5

Resposta da letra (a) e cálculo do fator de potência (letra b):
a) A corrente de linha é a corrente de fase em Y; portanto
I_L=I_{\text{ph}}\approx 35{,}5\angle -33{,}2^\circ\\ \mathrm{A}.
b) O fator de potência do estator é o cosseno do ângulo entre tensão e corrente, isto é
\text{FP}=\cos(33{,}19^\circ)\approx 0{,}837\\ (\text{atrasado}).
Explicação: fator de potência é \cos\varphi com \varphi = ângulo da corrente em relação à tensão. Como a corrente atrasa, diz-se “atrasado”.

Passo 6

Calcular a frequência do rotor (letra c):
A frequência elétrica no rotor (frequência das correntes induzidas no rotor) é proporcional ao escorregamento:
f_{\text{re}}=s\cdot f.
Substituindo:
f_{\text{re}}=0{,}02\cdot 60=1{,}2\\ \mathrm{Hz}.
Explicação: no rotor de um indutor, quando há escorregamento s a frequência das correntes induzidas no rotor é s vezes a frequência do estator.

Passo 7

Calcular as perdas no cobre do estator (letra d):
As perdas no cobre do estator por fase são I_{\text{ph}}^2 R_1; total trifásico:
P_{\text{PCE}}=3I_{\text{ph}}^2 R_1.
Usando I_{\text{ph}}\approx 35{,}5\\ \mathrm{A} e R_1=0{,}15\\ \Omega:
P_{\text{PCE}}=3\cdot (35{,}5)^2\cdot 0{,}15\approx 567\\ \mathrm{W}.
Explicação: perda ôhmica em cada fase é I^2R; para trifásico somamos as três fases.

Passo 8

Calcular a corrente do rotor referido e a potência de entreferro (letra e):
Primeiro encontramos a tensão no nó entre Z_1 e o paralelo (tensão no paralelo), que é a tensão aplicada às ramas magnetização e rotor. Essa tensão é simplesmente a queda em Z_p dada pela corrente:
V_{\text{p}}=I_{\text{ph}}\,Z_p.
Magnitude aproximada calculada:
|V_{\text{p}}|\approx 35{,}5\cdot 6{,}934\approx 246{,}0\\ \mathrm{V}.
Corrente do rotor referido (por fase) é:
I_2'=\frac{V_{\text{p}}}{Z_r}=\frac{V_{\text{p}}}{7{,}7+j1{,}066}\approx 31{,}64\angle -13{,}16^\circ\\ \mathrm{A}.
Agora a potência que atravessa o entreferro (air-gap power) por fase é a potência total entregue à impedância R_2'/s (a parte real da rama rotor vista como R_2'/s). Em total trifásico:
P_{\mathrm{EF}}=3\,|I_2'|^2\left(\frac{R_2'}{s}\right).
Substituindo |I_2'|\approx 31{,}64\\ \mathrm{A},\; R_2'/s=7{,}7\\ \Omega:
P_{\mathrm{EF}}\approx 3\cdot (31{,}64)^2\cdot 7{,}7\approx 23{,}15\\ \mathrm{kW}.
Explicação: a potência que passa pelo entreferro é a potência dissipada na resistência \dfrac{R_2'}{s} da rama do rotor (essa resistência representa a transformação das perdas elétricas do rotor mais a potência destinada à conversão mecânica).

Passo 9

Calcular a potência convertida para mecânica (letra f) e as perdas no cobre do rotor:
Da potência no ramo R_2'/s (que é P_{\mathrm{EF}}) uma fração s é dissipada como perdas ôhmicas no rotor (perdas no cobre do rotor) e a restante (1-s) é a potência convertida em forma mecânica. Formalmente:
P_{\text{cu2}}=3\,|I_2'|^2 R_2'
P_{\text{conv}}=P_{\mathrm{EF}}-P_{\text{cu2}}=(1-s)P_{\mathrm{EF}}.
Usando os valores:
P_{\text{cu2}}\approx 3\cdot(31{,}64)^2\cdot 0{,}154\approx 463\\ \mathrm{W},
P_{\text{conv}}=(1-0{,}02)\cdot 23{,}15\\ \text{kW}\approx 22{,}69\\ \text{kW}.
Explicação: a resistência R_2' dissipa a parcela s da potência do ramo (isso é a razão pela qual P_{\mathrm{EF}}=P_{\text{cu2}} + P_{\text{conv}}).

Passo 10

Calcular o conjugado induzido (torque eletromagnético) — letra g:
Primeiro calculamos a velocidade síncrona e a velocidade mecânica do rotor:
Velocidade síncrona em rpm:
N_s=\frac{120\,f}{\text{nº polos}}=\frac{120\cdot 60}{4}=1800\\ \mathrm{rpm}.º
Velocidade síncrona em rad/s:
\omega_s=2\pi\frac{N_s}{60}=2\pi\cdot 30=60\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 188{,}496\\ \mathrm{rad/s}.
Velocidade mecânica do rotor (considerando o escorregamento):
\omega_m=(1-s)\,\omega_s=0{,}98\cdot 188{,}496\approx 184{,}726\\ \mathrm{rad/s}.
O torque eletromagnético desenvolvido (induzido) é a potência convertida dividida pela velocidade mecânica:
\tau_{\text{ind}}=\frac{P_{\text{conv}}}{\omega_m}=\frac{22{,}69\cdot 10^3}{184{,}726}\approx 122{,}8\\ \mathrm{N\cdot m}.
Explicação: potência mecânica gerada interna P_{\text{conv}} = torque × velocidade angular do rotor; rearranjando dá o torque.

Passo 11

Calcular o conjugado de carga (torque útil no eixo) — letra h:
A potência útil de eixo (potência entregue à carga) é a potência convertida menos as perdas mecânicas (aquelas que acontecem após a conversão): aqui subtrai-se as perdas por atrito/ventilação P_{\mathrm{AeV}}, as perdas no núcleo P_{\text{núcleo}}ú e as perdas suplementares P_{\text{suplementares}} conforme os dados fornecidos. (Observação: algumas práticas consideram o núcleo como perda elétrica no estator; aqui, para obter o mesmo resultado pedido no enunciado, subtrai-se esse valor também das potências mecânicas entregues à carga). Assim:
P_{\text{out}}=P_{\text{conv}}-P_{\mathrm{AeV}}-P_{\text{núcleo}}-P_{\text{suplementares}}.ú
Substituindo:
P_{\text{out}}=22{,}69\\ \text{kW} - 0{,}400\\ \text{kW} - 0{,}400\\ \text{kW} - 0{,}150\\ \text{kW}\approx 21{,}737\\ \mathrm{W}.
O torque de carga é
\tau_{\text{carga}}=\frac{P_{\text{out}}}{\omega_m}=\frac{21{,}737}{184{,}726}\approx 117{,}7\\ \mathrm{N\cdot m}.
Comentário: estou seguindo a convenção usada no enunciado para obter o valor pedido (subtraindo as três perdas indicadas).

Passo 12

Calcular a eficiência total da máquina (letra i):
A potência de entrada elétrica pode ser obtida diretamente pela fórmula trifásica:
P_{\text{in}}=\sqrt{3}\,V_L I_L \cos\varphi.
Usando V_L=460\\ \mathrm{V},\; I_L\approx 35{,}5\\ \mathrm{A},\; \cos\varphi\approx 0{,}837:
P_{\text{in}}\approx \sqrt{3}\cdot 460\cdot 35{,}5\cdot 0{,}837\approx 23{,}72\\ \mathrm{kW}.
A eficiência é a razão entre potência útil de saída e potência de entrada:
\eta=\frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in}}}=\frac{21{,}737}{23{,}717}\approx 0{,}917\approx 91{,}7\%.
Verificação alternativa (soma das perdas): podemos somar as perdas conhecidas e ver que
P_{\text{in}}=P_{\text{out}} + P_{\text{PCE}} + P_{\text{cu2}} + P_{\text{núcleo}} + P_{\mathrm{AeV}} + P_{\text{suplementares}},ú
que dá valor próximo ao usado acima; essa consistência confirma o cálculo.

Resposta

a) I_{L}=35{,}5\angle -33{,}2^\circ\\ \mathrm{A}
b) \mathrm{FP}=0{,}837 atrasado
c) f_{\mathrm{re}}=1{,}2\\ \mathrm{Hz}
d) P_{\text{PCE}}=567\\ \mathrm{W}
e) P_{\mathrm{EF}}=23{,}15\\ \mathrm{kW}
f) P_{\text{conv}}=22{,}69\\ \mathrm{kW}
g) \tau_{\text{ind}}=122{,}8\\ \mathrm{N\cdot m}
h) \tau_{\text{carga}}=117{,}7\\ \mathrm{N\cdot m}
i) \eta=91{,}7\%

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