Em um laboratório de química experimental, observa-se que, em média, uma em cada 500 amostras submetidas a um novo reagente apresenta uma reação indesejada, mesmo após a adição de um agente estabilizante. Qual é a probabilidade de que, em 2.000 amostras analisadas, ocorram exatamente 3 reações indesejadas?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Informação 1: Em média, uma em cada 500 amostras apresenta a reação indesejada. Logo, a probabilidade de uma amostra ter a reação é p=\dfrac{1}{500}.
  • Informação 2: Serão analisadas n=2{,}000 amostras.
  • Pergunta: Qual é a probabilidade de ocorrerem exatamente 3 reações indesejadas entre as 2{,}000 amostras?

Passo 2

Modelagem natural (exata): a contagem de reações indesejadas em n amostras independentemente idênticas segue uma distribuição Binomial. Vou apresentar essa fórmula e explicar cada termo.
  • Definição (Binomial): Se X é o número de sucessos em n tentativas independentes com probabilidade de sucesso p em cada tentativa, então
\mathbb{P}(X=k)=\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{\,n-k}.
Aqui:
  • n é o número de tentativas (aqui n=2000).
  • k é o número de sucessos que queremos (aqui k=3).
  • p é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (aqui p=\dfrac{1}{500}).
  • \binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!} conta de quantas maneiras escolher quais k tentativas deram sucesso.
  • Aplicando ao caso:
\mathbb{P}(X=3)=\binom{2000}{3}\left(\dfrac{1}{500}\right)^{3}\left(\dfrac{499}{500}\right)^{1997}.
Essa é a expressão exata. Porém, calcular \left(\dfrac{499}{500}\right)^{1997} e \binom{2000}{3} manualmente é trabalhoso sem calculadora, então vamos ver uma aproximação extremamente útil para este tipo de problema.

Passo 3

Motivação da aproximação (quando usar Poisson): quando n é grande e p é pequeno, de modo que \lambda=np seja razoável (não muito grande), a distribuição Binomial pode ser aproximada pela distribuição de Poisson com parâmetro \lambda=np. Essa é uma aproximação clássica para eventos raros.
  • Condições checadas:
    • n=2000 é grande.
    • p=\dfrac{1}{500}=0{,}002 é pequeno.
    • \lambda=np=2000\cdot0{,}002 será moderado (ver próximo passo).
      Portanto a aproximação de Poisson é apropriada aqui.

Passo 4

Definir e calcular \lambda (parâmetro da Poisson).
  • A regra é \lambda = n p.
\lambda = 2000 \cdot \dfrac{1}{500} = 2000 \cdot 0{,}002 = 4.
Então usamos Poisson com parâmetro \lambda=4.

Passo 5

Fórmula da Poisson e aplicação para k=3.
  • Definição (Poisson): se Y\sim\text{Poisson}(\lambda), então
\mathbb{P}(Y=k)=e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^{k}}{k!}.
Aqui \lambda=4 e k=3, portanto
\mathbb{P}(X=3)\approx e^{-4}\dfrac{4^{3}}{3!}.
  • Calcular passo a passo:
    • 4^{3}=64.
    • 3!=6.
    • Logo \dfrac{4^{3}}{3!}=\dfrac{64}{6}=\dfrac{32}{3}.
    • Saber e^{4}\approx 54{,}59815003, portanto e^{-4}=\dfrac{1}{e^{4}}\approx 0{,}0183156389.
    • Multiplicando:
    e^{-4}\dfrac{32}{3}\approx 0{,}0183156389 \times 10{,}6666667 \approx 0{,}1953668.
    • Arredondando para quatro casas decimais usando vírgula decimal (convencionado aqui): 0{,}1954.

Passo 6

Interpretação e dica para prova
  • Interpretação: a probabilidade de exatamente 3 reações indesejadas entre 2{,}000 amostras é aproximadamente 0{,}1954, ou seja cerca de 19{,}54\%.
  • Dica prática para prova: se o enunciado dá n grande e p pequeno, calcule \lambda=np. Se \lambda for um número moderado, use a Poisson; isso evita manipulacões de binomiais com potências muito grandes. Se for solicitado valor exato e houver calculadora, use a fórmula binomial. Caso contrário, a aproximação de Poisson é aceita na maioria das provas quando justificada.

Resposta

0{,}1954

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