Em um laboratório de química experimental, observa-se que, em média, uma em cada 500 amostras submetidas a um novo reagente apresenta uma reação indesejada, mesmo após a adição de um agente estabilizante. Qual é a probabilidade de que, em 2.000 amostras analisadas, ocorram exatamente 3 reações indesejadas?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
- Informação 1: Em média, uma em cada
amostras apresenta a reação indesejada. Logo, a probabilidade de uma amostra ter a reação é . - Informação 2: Serão analisadas
amostras. - Pergunta: Qual é a probabilidade de ocorrerem exatamente
reações indesejadas entre as amostras?
Passo 2
Modelagem natural (exata): a contagem de reações indesejadas em
amostras independentemente idênticas segue uma distribuição Binomial. Vou apresentar essa fórmula e explicar cada termo.
- Definição (Binomial): Se
é o número de sucessos em tentativas independentes com probabilidade de sucesso em cada tentativa, então
Aqui:
-
é o número de tentativas (aqui ). -
é o número de sucessos que queremos (aqui ). -
é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (aqui ). -
conta de quantas maneiras escolher quais tentativas deram sucesso. -
Aplicando ao caso:
Essa é a expressão exata. Porém, calcular
e
manualmente é trabalhoso sem calculadora, então vamos ver uma aproximação extremamente útil para este tipo de problema.
Passo 3
Motivação da aproximação (quando usar Poisson): quando
é grande e
é pequeno, de modo que
seja razoável (não muito grande), a distribuição Binomial pode ser aproximada pela distribuição de Poisson com parâmetro
. Essa é uma aproximação clássica para eventos raros.
- Condições checadas:
-
é grande. -
é pequeno. -
será moderado (ver próximo passo).
Portanto a aproximação de Poisson é apropriada aqui.
-
Passo 4
Definir e calcular
(parâmetro da Poisson).
- A regra é
.
Então usamos Poisson com parâmetro
.
Passo 5
Fórmula da Poisson e aplicação para
.
- Definição (Poisson): se
, então
Aqui
e
, portanto
- Calcular passo a passo:
-
. -
. - Logo
. - Saber
, portanto . - Multiplicando:
- Arredondando para quatro casas decimais usando vírgula decimal (convencionado aqui):
.
-
Passo 6
Interpretação e dica para prova
- Interpretação: a probabilidade de exatamente
reações indesejadas entre amostras é aproximadamente , ou seja cerca de . - Dica prática para prova: se o enunciado dá
grande e pequeno, calcule . Se for um número moderado, use a Poisson; isso evita manipulacões de binomiais com potências muito grandes. Se for solicitado valor exato e houver calculadora, use a fórmula binomial. Caso contrário, a aproximação de Poisson é aceita na maioria das provas quando justificada.