Um laboratório de resistência de materiais obteve as seguintes resistências de ruptura (em M P a, aos 28 dias de cura) de uma amostra de vinte corpos de prova de prova de concreto de um determinado lote de uma etapa de construção de um cliente.
\mathbf{R}=\{14.58 ; 16.66 ; 15.30 ; 13.59 ; 15.30 ; 12.87 ; 15.83 ; 14.85 ; 12.26 ; 14.39 ; 11.89 ; 16.96 ; 15.69 ; 14.78 ; 15.95; 15.27; 11.51; 14.78; 17.34; 16.66}
  • Para cada item pedido escreva o estimador (a “fórmula”).
  • Para quantis, apresente a fórmula adotada para localização da posição (índice).
  • Desenvolva por escrito a primeira linha do cálculo.
  • Apresente cada medida juntamente com sua unidade dimensional.
    Quais os limites inferior e superior (usados no box-plot)?

Passo 1

Temos a amostra de n=20 resistências (em MPa). Para construir o box-plot precisamos dos quartis \,Q_{1} e \,Q_{3}, da amplitude interquartílica \mathrm{IQR}=Q_{3}-Q_{1} e, finalmente, dos limites
\text{Limite inferior}=Q_{1}-1,5\,\mathrm{IQR},\qquad \text{Limite superior}=Q_{3}+1,5\,\mathrm{IQR}.

Passo 2

Estimadores e fórmulas:
h_p = (n+1)\,p \quad\Rightarrow\quad Q_{1} = X_{(h_{1})},\;h_{1}=(n+1)\tfrac14,\qquad Q_{3} = X_{(h_{3})},\;h_{3}=(n+1)\tfrac34,
\mathrm{IQR}=Q_{3}-Q_{1},\quad \text{Limite inferior}=Q_{1}-1,5\,\mathrm{IQR},\quad \text{Limite superior}=Q_{3}+1,5\,\mathrm{IQR}.

Passo 3

Cálculo de Q_{1}:
Primeira linha:
h_{1}=\frac{20+1}{4}=5{,}25.
Como h_{1}=5{,}25,
Q_{1}=X_{(5)}+0{,}25\bigl(X_{(6)}-X_{(5)}\bigr) =13{,}59+0{,}25(14{,}39-13{,}59) =13{,}79\\ \mathrm{MPa}.

Passo 4

Cálculo de Q_{3}:
Primeira linha:
h_{3}=\frac{3\,(20+1)}{4}=15{,}75.
Como h_{3}=15{,}75,
Q_{3}=X_{(15)}+0{,}75\bigl(X_{(16)}-X_{(15)}\bigr) =15{,}83+0{,}75(15{,}95-15{,}83) =15{,}92\\ \mathrm{MPa}.

Passo 5

Cálculo da amplitude interquartílica:
Primeira linha:
\mathrm{IQR}=Q_{3}-Q_{1} =15{,}92\\ \mathrm{MPa}-13{,}79\\ \mathrm{MPa} =2{,}13\\ \mathrm{MPa}.

Passo 6

Cálculo dos limites do box-plot:
Primeira linha para o limite inferior:
Q_{1}-1,5\,\mathrm{IQR} =13{,}79\\ \mathrm{MPa}-1{,}5\cdot2{,}13\\ \mathrm{MPa} =10{,}595\\ \mathrm{MPa}\approx10{,}60\\ \mathrm{MPa}.
Primeira linha para o limite superior:
Q_{3}+1,5\,\mathrm{IQR} =15{,}92\\ \mathrm{MPa}+1{,}5\cdot2{,}13\\ \mathrm{MPa} =19{,}115\\ \mathrm{MPa}\approx19{,}12\\ \mathrm{MPa}.

Resposta

Limite inferior \approx 10,60 MPa
Limite superior \approx 19,12 MPa

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