Um laboratório de resistência de materiais obteve as seguintes resistências de ruptura (em M P a, aos 28 dias de cura) de uma amostra de vinte corpos de prova de prova de concreto de um determinado lote de uma etapa de construção de um cliente.
\mathbf{R}=\{14.58 ; 16.66 ; 15.30 ; 13.59 ; 15.30 ; 12.87 ; 15.83 ; 14.85 ; 12.26 ; 14.39 ; 11.89 ; 16.96 ; 15.69 ; 14.78 ; 15.95; 15.27; 11.51; 14.78; 17.34; 16.66}
  • Para cada item pedido escreva o estimador (a “fórmula”).
  • Para quantis, apresente a fórmula adotada para localização da posição (índice).
  • Desenvolva por escrito a primeira linha do cálculo.
  • Apresente cada medida juntamente com sua unidade dimensional.
    Qual a medida de curtose da distribuição empírica das resistências medidas?

Passo 1

Temos um conjunto de n=20 medidas de resistência de ruptura em MPa
R=\{14,58;16,66;15,30;13,59;15,30;12,87;15,83;14,85;12,26;14,39;11,89;16,96;15,69;14,78;15,95;15,27;11,51;14,78;17,34;16,66\}
e queremos calcular a curtose empírica dessa distribuição. Para isso vamos usar momentos centrados de ordem 2 e 4.

Passo 2

O estimador de curtose excessiva (momento de Pearson) adotado é
\hat\gamma_2 \;=\;\frac{\displaystyle\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\bigl(R_i-\bar R\bigr)^4}{\Bigl(\displaystyle\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\bigl(R_i-\bar R\bigr)^2\Bigr)^2}\;-\;3,
onde
\bar R=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n R_i \quad\text{e}\quad m_2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\bigl(R_i-\bar R\bigr)^2.

Passo 3

Primeira linha de cálculo — média das resistências:
\bar R \;=\;\frac{1}{20}\sum_{i=1}^{20}R_i \;=\;\frac{296,46}{20}\;=\;14,823\;\text{MPa}.

Resposta

A curtose excessiva da distribuição empírica é aproximadamente
\hat\gamma_2 = -0,574,
valor adimensional.

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