Um laboratório de resistência de materiais obteve as seguintes resistências de ruptura (em M P a, aos 28 dias de cura) de uma amostra de vinte corpos de prova de prova de concreto de um determinado lote de uma etapa de construção de um cliente.
\mathbf{R}=\{14.58 ; 16.66 ; 15.30 ; 13.59 ; 15.30 ; 12.87 ; 15.83 ; 14.85 ; 12.26 ; 14.39 ; 11.89 ; 16.96 ; 15.69 ; 14.78 ; 15.95; 15.27; 11.51; 14.78; 17.34; 16.66}
  • Para cada item pedido escreva o estimador (a “fórmula”).
  • Para quantis, apresente a fórmula adotada para localização da posição (índice).
  • Desenvolva por escrito a primeira linha do cálculo.
  • Apresente cada medida juntamente com sua unidade dimensional.
    Qual o 2^{o} coeficiente de assimetria de Pearson da distribuição empírica das resistências medidas?

Passo 1

O enunciado nos dá vinte valores de resistência à ruptura (em MPa) \{R_i\}_{i=1}^{20} = \{14,58;\,16,66;\,15,30;\,13,59;\,15,30;\,12,87;\,15,83;\,14,85;\,12,26;\,14,39;\,11,89;\,16,96;\,15,69;\,14,78;\,15,95;\,15,27;\,11,51;\,14,78;\,17,34;\,16,66\}
e pede o segundo coeficiente de assimetria de Pearson, que se calcula por
g_{P2} \;=\; 3\,\frac{\bar R - \tilde R}{s}\,,
onde \bar R é a média amostral, \tilde R a mediana amostral e s o desvio‐padrão amostral.

Passo 2

Estimador da média amostral:
\bar R \;=\;\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n R_i.
Primeira linha do cálculo:
\bar R \;=\;\frac{1}{20}\bigl[\,14,58 + 16,66 + 15,30 + \dots + 17,34 + 16,66\bigr] \;\approx\;\frac{296,46}{20} \;=\;14,823\;\text{MPa}.

Passo 3

Estimador da mediana (para n par):
\tilde R \;=\;\frac{R_{(n/2)} + R_{(n/2+1)}}{2}.
Ordenando os dados, os valores nas posições 10 e 11 são 14{,}85 e 15{,}27.
Primeira linha do cálculo:
\tilde R = \frac{14{,}85 + 15{,}27}{2} = 15{,}06\;\text{MPa}.

Passo 4

Estimador do desvio‐padrão amostral:
s \;=\;\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n\bigl(R_i - \bar R\bigr)^2}.
Primeira linha do cálculo:
s = \sqrt{\frac{1}{19}\Bigl[(14,58-14,823)^2 + (16,66-14,823)^2 + \dots + (16,66-14,823)^2\Bigr]} \;\approx\;1,672\;\text{MPa}.

Passo 5

Agora o segundo coeficiente de Pearson:
g_{P2} \;=\;3\;\frac{\bar R - \tilde R}{s} \;=\;3\;\frac{14{,}823 - 15{,}06}{1{,}672} \;\approx\;-0{,}43.

Resposta

O segundo coeficiente de assimetria de Pearson vale aproximadamente -0{,}43 (adimensional).

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