Um laboratório de resistência de materiais obteve as seguintes resistências de ruptura (em M P a, aos 28 dias de cura) de uma amostra de vinte corpos de prova de prova de concreto de um determinado lote de uma etapa de construção de um cliente.
\mathbf{R}=\{14.58 ; 16.66 ; 15.30 ; 13.59 ; 15.30 ; 12.87 ; 15.83 ; 14.85 ; 12.26 ; 14.39 ; 11.89 ; 16.96 ; 15.69 ; 14.78 ; 15.95; 15.27; 11.51; 14.78; 17.34; 16.66}
  • Para cada item pedido escreva o estimador (a “fórmula”).
  • Para quantis, apresente a fórmula adotada para localização da posição (índice).
  • Desenvolva por escrito a primeira linha do cálculo.
  • Apresente cada medida juntamente com sua unidade dimensional.
    Apresente esse conjunto de dados de resistências padronizado ( z-Scores).

Passo 1

Temos n=20 observações de resistência (em MPa): \{14{,}58;16{,}66;15{,}30;13{,}59;15{,}30;12{,}87;15{,}83;14{,}85;12{,}26;14{,}39;11{,}89;16{,}96;15{,}69;14{,}78;15{,}95;15{,}27;11{,}51;14{,}78;17{,}34;16{,}66\}.
O objetivo é padronizar em escores z, para isso precisamos da média \bar{x} e do desvio‐padrão amostral s.

Passo 2

Estimador da média amostral:
\bar{x} \;=\;\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i.
Primeira linha de cálculo:
\sum_{i=1}^{20}x_i \;=\; 296{,}46\\ \text{MPa},
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\bar{x} = \frac{296{,}46}{20} = 14{,}823\\ \text{MPa}.

Passo 3

Estimador do desvio‐padrão amostral:
s \;=\;\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}.
Primeira linha de cálculo de \sum(x_i-\bar{x})^2:
(x_1-\bar{x})^2 = (14{,}58-14{,}823)^2 = 0{,}0590\\ \text{MPa}^2.
Calculando toda a soma encontra‐se \sum_{i=1}^{20}(x_i-\bar{x})^2 = 53{,}067\\ \text{MPa}^2,
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s = \sqrt{\frac{53{,}067}{19}} = 1{,}671\\ \text{MPa}.

Passo 4

Estimador do escore- z:
z_i \;=\;\frac{x_i - \bar{x}}{s},
adimensional. Primeira linha de cálculo:
z_1 = \frac{14{,}58 - 14{,}823}{1{,}671} = -0{,}1455.

Resposta

Escore- z de cada observação (adimensional):
\begin{aligned} z_1 &=-0{,}1455, & z_{11} &=-1{,}756,\\\ z_2 &=1{,}0992, & z_{12} &=1{,}2787,\\\ z_3 &=0{,}2856, & z_{13} &=0{,}5188,\\\ z_4 &=-0{,}7377, & z_{14} &=-0{,}0257,\\\ z_5 &=0{,}2856, & z_{15} &=0{,}6740,\\\ z_6 &=-1{,}1691, & z_{16} &=0{,}2676,\\\ z_7 &=0{,}6028, & z_{17} &=-1{,}9833,\\\ z_8 &=0{,}0162, & z_{18} &=-0{,}0257,\\\ z_9 &=-1{,}5330, & z_{19} &=1{,}5060,\\\ z_{10} &=-0{,}2593, & z_{20} &=1{,}0992. \end{aligned}

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