Um laboratório de resistência de materiais obteve as seguintes resistências de ruptura (em M P a, aos 28 dias de cura) de uma amostra de vinte corpos de prova de prova de concreto de um determinado lote de uma etapa de construção de um cliente.
\mathbf{R}=\{14.58 ; 16.66 ; 15.30 ; 13.59 ; 15.30 ; 12.87 ; 15.83 ; 14.85 ; 12.26 ; 14.39 ; 11.89 ; 16.96 ; 15.69 ; 14.78 ; 15.95; 15.27; 11.51; 14.78; 17.34; 16.66}
  • Para cada item pedido escreva o estimador (a “fórmula”).
  • Para quantis, apresente a fórmula adotada para localização da posição (índice).
  • Desenvolva por escrito a primeira linha do cálculo.
  • Apresente cada medida juntamente com sua unidade dimensional.
    Qual o desvio padrão das resistências medidas?

Passo 1

O enunciado fornece uma amostra de n=20 resistências de ruptura de corpos de prova de concreto, em MPa, e pede o desvio padrão amostral dessas medidas. O conteúdo é Estatística Descritiva, mais especificamente o cálculo do desvio padrão amostral, que exige o cálculo da média amostral e da soma dos quadrados dos desvios em relação a essa média.

Passo 2

O estimador da média amostral é
\bar{R} \;=\;\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}R_i
e o estimador do desvio padrão amostral (não viesado) é
s \;=\;\sqrt{\frac{1}{\,n-1\,}\sum_{i=1}^{n}\bigl(R_i - \bar{R}\bigr)^2}.

Passo 3

Primeiro, calculamos a média amostral. Na primeira linha do cálculo temos:
\bar{R} \;=\;\frac{1}{20}\bigl(14.58 + 16.66 + 15.30 + 13.59 + 15.30 + 12.87 + 15.83 + 14.85 + 12.26 + 14.39 + 11.89 + 16.96 + 15.69 + 14.78 + 15.95 + 15.27 + 11.51 + 14.78 + 17.34 + 16.66\bigr).
Fazendo a soma, obtemos \sum_{i=1}^{20}R_i = 296.46, portanto
\bar{R} = \frac{296.46}{20} = 14.823\\ \text{MPa}.

Passo 4

Em seguida, calculamos a soma dos quadrados dos desvios em relação à média. Obtivemos
\sum_{i=1}^{20}\bigl(R_i - \bar{R}\bigr)^2 \approx 53.077\\ (\text{MPa})^2.
Logo, a variância amostral é
s^2 = \frac{1}{20-1}\;53.077 \approx 2.793\\ (\text{MPa})^2.

Passo 5

Finalmente, o desvio padrão amostral é a raiz quadrada da variância:
s = \sqrt{2.793} \approx 1.67\\ \text{MPa}.

Resposta

O desvio padrão das resistências medidas é aproximadamente 1.67 MPa.

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