Um laboratório de resistência de materiais obteve as seguintes resistências de ruptura (em M P a, aos 28 dias de cura) de uma amostra de vinte corpos de prova de prova de concreto de um determinado lote de uma etapa de construção de um cliente.
\mathbf{R}=\{14.58 ; 16.66 ; 15.30 ; 13.59 ; 15.30 ; 12.87 ; 15.83 ; 14.85 ; 12.26 ; 14.39 ; 11.89 ; 16.96 ; 15.69 ; 14.78 ; 15.95; 15.27; 11.51; 14.78; 17.34; 16.66}
  • Para cada item pedido escreva o estimador (a “fórmula”).
  • Para quantis, apresente a fórmula adotada para localização da posição (índice).
  • Desenvolva por escrito a primeira linha do cálculo.
  • Apresente cada medida juntamente com sua unidade dimensional.
    Qual o décimo percentil das resistências medidas?

Passo 1

O enunciado fornece uma amostra de tamanho n=20 das resistências de ruptura (em MPa) de corpos de prova de concreto e pede o décimo percentil P_{10}. O conteúdo é Estatística Descritiva, mais especificamente a estimação de quantis por interpolação de ordem.

Passo 2

O estimador do quantil de ordem p (com 0<p<1) numa amostra ordenada \{R_{(1)},R_{(2)},\dots,R_{(n)}\} usa a fórmula
i = (n+1)\,p,
i_\ell = \lfloor i\rfloor,\quad i_u = \lceil i\rceil,\quad g = i - i_\ell,
Q_p = (1-g)\,R_{(i_\ell)} + g\,R_{(i_u)}.

Passo 3

Aplicando para p=0,10 e n=20:
i = (20+1)\times 0,10 = 21\times 0,10 = 2,1.
Daí i_\ell = 2, i_u = 3 e g = 2{,}1 - 2 = 0{,}1.

Passo 4

Ordenando as 20 observações em ordem crescente, os três menores são \,R_{(1)} = 11{,}51, \,R_{(2)} = 11{,}89, \,R_{(3)} = 12{,}26; (em MPa).

Passo 5

Interpolando para obter P_{10}:
P_{10} = (1 - 0{,}1)\,R_{(2)} + 0{,}1\,R_{(3)} = 0{,}9\times 11{,}89 + 0{,}1\times 12{,}26 = 11{,}89 + 0{,}1\,(12{,}26 - 11{,}89) = 11{,}927\\ \text{MPa}.

Resposta

O décimo percentil das resistências medidas é aproximadamente 11{,}93 MPa.

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