Um laboratório de resistência de materiais obteve as seguintes resistências de ruptura (em M P a, aos 28 dias de cura) de uma amostra de vinte corpos de prova de prova de concreto de um determinado lote de uma etapa de construção de um cliente.
\mathbf{R}=\{14.58 ; 16.66 ; 15.30 ; 13.59 ; 15.30 ; 12.87 ; 15.83 ; 14.85 ; 12.26 ; 14.39 ; 11.89 ; 16.96 ; 15.69 ; 14.78 ; 15.95; 15.27; 11.51; 14.78; 17.34; 16.66}
  • Para cada item pedido escreva o estimador (a “fórmula”).
  • Para quantis, apresente a fórmula adotada para localização da posição (índice).
  • Desenvolva por escrito a primeira linha do cálculo.
  • Apresente cada medida juntamente com sua unidade dimensional.
    Qual a distância interquartílica \left(Q_{3}-Q_{1}\right) ?

Passo 1

O enunciado fornece uma amostra de n=20 resistências de ruptura de concreto em \text{MPa} e pede a distância interquartílica, isto é,
\mathrm{IQR} = Q_{3} - Q_{1}.
Para resolver precisamos ordenar os dados, usar a fórmula de posição dos quantis em amostra e aplicar a interpolação quando o índice não for inteiro.

Passo 2

Ordenando em ordem crescente, os vinte valores tornam-se
\{x_{(1)},x_{(2)},\dots,x_{(20)}\} = \{11,51;\,11,89;\,12,26;\,12,87;\,13,59;\,14,39;\,14,58;\,14,78;\,14,78;\,14,85;\,15,27;\,15,30;\,15,30;\,15,69;\,15,83;\,15,95;\,16,66;\,16,66;\,16,96;\,17,34\}.

Passo 3

A posição do quantil de ordem p em uma amostra de tamanho n é dada por
i_p = (n+1)\,p.
Se i_p não for inteiro, interpola-se por
Q_p = x_{(\lfloor i_p\rfloor)} \;+\;(i_p-\lfloor i_p\rfloor)\,\bigl(x_{(\lceil i_p\rceil)}-x_{(\lfloor i_p\rfloor)}\bigr).
Para o primeiro quartil p=0,25 calculamos inicialmente
i_{0,25} = (20+1)\times 0,25 = 21 \times 0,25 = 5,25.

Passo 4

Como i_{0,25}=5,25, usa-se
Q_{1} = x_{(5)} + 0,25\bigl(x_{(6)}-x_{(5)}\bigr).
Substituindo x_{(5)}=13,59\:\text{MPa} e x_{(6)}=14,39\:\text{MPa}:
Q_{1} = 13,59 + 0,25\,(14,39-13,59) = 13,59 + 0,25\times 0,80 = 13,59 + 0,20 = 13,79\:\text{MPa}.

Passo 5

Para o terceiro quartil p=0,75 temos
i_{0,75} = (20+1)\times 0,75 = 21 \times 0,75 = 15,75,
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Q_{3} = x_{(15)} + 0,75\bigl(x_{(16)}-x_{(15)}\bigr).
Como x_{(15)}=15,83\:\text{MPa} e x_{(16)}=15,95\:\text{MPa}:
Q_{3} = 15,83 + 0,75\,(15,95-15,83) = 15,83 + 0,75\times 0,12 = 15,83 + 0,09 = 15,92\:\text{MPa}.

Passo 6

Finalmente, a distância interquartílica é
\mathrm{IQR} = Q_{3} - Q_{1} = 15,92\:\text{MPa} - 13,79\:\text{MPa} = 2,13\:\text{MPa}.

Resposta

A distância interquartílica é 2,13\:\text{MPa}.

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