O lado N de uma junção PN emprega uma concentração de dopantes N_{D}=10^{17} \mathrm{~cm}^{-3}. Determine:
a) A concentração de dopantes aceitadores (lado P ) necessária para que o potencial da junção valha V_{0}=779 \mathrm{mV} à temperatura ambiente
b) As profundidades da junção nos lados P e N , para a condição utilizada na letra (a). Expresse os resultados em nanômetros.

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação e pede duas coisas.
  • Dados fornecidos:
    • A concentração de dopantes do lado N é N_{D}=10^{17}\\ \mathrm{cm}^{-3}.
    • O potencial de junção (built‑in) vale V_{0}=779\\ \mathrm{mV} à temperatura ambiente.
    • Temperatura ambiente: vamos tomar T=300\\ \mathrm{K} (valor padrão).
    • Como não foi informado, usarei para silício o valor usual do portador intrínseco à 300\\ \mathrm{K}: n_{i}=10^{10}\\ \mathrm{cm}^{-3}.
  • O que se pede:
    a) Calcular a concentração de dopantes aceitadores N_{A} (lado P) que produz esse V_{0}.
    b) Calcular as profundidades da região de depleção em cada lado ( x_{p} no P e x_{n} no N) para a condição da letra (a). Expressar em nanômetros.

Passo 2

Conceitos e fórmulas essenciais (explicados de modo prático).
  • Potencial de junção em uma junção abrupta em equilíbrio (zero polarização externa) é dado por
V_{0} = V_{T}\,\ln\!\left(\frac{N_{A}N_{D}}{n_{i}^{2}}\right),
onde:
  • V_{T}=\dfrac{kT}{q} é a tensão térmica (energia térmica por carga),
  • k é a constante de Boltzmann ( k=1,3806\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}),
  • T é a temperatura em kelvin,
  • q é a carga do elétron ( q=1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}),
  • n_{i} é a concentração intrínseca de portadores (para silício em 300\\ \mathrm{K}, n_{i}\approx10^{10}\\ \mathrm{cm}^{-3}),
  • N_{A} e N_{D} estão em \mathrm{cm}^{-3}.
Explicação intuitiva: V_{0} mede a diferença de potenciais necessária para igualar as concentrações de portadores; ele cresce com o produto N_{A}N_{D}.
  • Região de depleção (modelo depleção abrupta): as larguras em cada lado obedecem:
W = x_{n}+x_{p} = \sqrt{\frac{2\varepsilon_{s}V_{0}}{q}\cdot\frac{N_{A}+N_{D}}{N_{A}N_{D}}}
e, por neutralidade de cargas,
N_{A}x_{p}=N_{D}x_{n}.
Dessa relação segue
x_{n}=\frac{N_{A}}{N_{A}+N_{D}}\,W,\qquad x_{p}=\frac{N_{D}}{N_{A}+N_{D}}\,W.
Aqui \varepsilon_{s} é a permissividade do semicondutor: \varepsilon_{s}=\varepsilon_{r}\varepsilon_{0}. Para silício \varepsilon_{r}\approx11{,}7 e \varepsilon_{0}=8{,}854\times10^{-14}\\ \mathrm{F/cm}, logo \varepsilon_{s}\approx11{,}7\cdot8{,}854\times10^{-14}\\ \mathrm{F/cm}.

Passo 3

Cálculo de V_{T} (tensão térmica) e valores numéricos iniciais.
  • Calculemos V_{T}:
V_{T}=\frac{kT}{q}=\frac{1{,}3806\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}\cdot300\\ \mathrm{K}}{1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}} \approx0{,}02585\\ \mathrm{V}=25{,}85\\ \mathrm{mV}.
  • Reescrevendo a fórmula de V_{0} para isolar N_{A}:
V_{0}=V_{T}\ln\!\left(\frac{N_{A}N_{D}}{n_{i}^{2}}\right) \implies \exp\!\left(\frac{V_{0}}{V_{T}}\right)=\frac{N_{A}N_{D}}{n_{i}^{2}}
portanto
N_{A}=\frac{n_{i}^{2}}{N_{D}}\exp\!\left(\frac{V_{0}}{V_{T}}\right).

Passo 4

Cálculo numérico de N_{A}.
  • Substituindo os valores numéricos (usar vírgula como separador decimal):
    • V_{0}=0,779\\ \mathrm{V},
    • V_{T}=0,02585\\ \mathrm{V},
    • n_{i}=10^{10}\\ \mathrm{cm}^{-3},
    • N_{D}=10^{17}\\ \mathrm{cm}^{-3}.
Calcule o expoente:
\frac{V_{0}}{V_{T}}=\frac{0,779}{0,02585}\approx30{,}138.
Logo
\exp\!\left(\frac{V_{0}}{V_{T}}\right)\approx e^{30{,}138}\approx1{,}242\times10^{13}.
Agora N_{A}:
N_{A}=\frac{(10^{10})^{2}}{10^{17}}\cdot 1{,}242\times10^{13} =\frac{10^{20}}{10^{17}}\cdot 1{,}242\times10^{13} =10^{3}\cdot1{,}242\times10^{13} =1{,}242\times10^{16}\\ \mathrm{cm}^{-3}.
Arredondando razoavelmente: N_{A}\approx1{,}24\times10^{16}\\ \mathrm{cm}^{-3}.
Comentário intuitivo: o lado P ficou menos dopado que o N (isto é comum), pois N_{A}<N_{D}.

Passo 5

Preparação dos parâmetros para calcular as larguras de depleção.
  • Permissividade do silício:
\varepsilon_{s}=\varepsilon_{r}\varepsilon_{0}=11{,}7\cdot8{,}854\times10^{-14}\\ \mathrm{F/cm} \approx1{,}035\times10^{-12}\\ \mathrm{F/cm}.
  • Valores de concentrações usados:
    • N_{D}=1{,}00\times10^{17}\\ \mathrm{cm}^{-3},
    • N_{A}=1{,}242\times10^{16}\\ \mathrm{cm}^{-3}.
  • Soma e produto:
N_{A}+N_{D}=1{,}1242\times10^{17}\\ \mathrm{cm}^{-3}, \qquad N_{A}N_{D}=1{,}242\times10^{33}\\ \mathrm{cm}^{-6}.

Passo 6

Cálculo da largura total W e das larguras parciais x_{n} e x_{p}.
  • Primeiro calcule o fator \dfrac{2\varepsilon_{s}V_{0}}{q}:
\frac{2\varepsilon_{s}V_{0}}{q} =\frac{2\cdot1{,}035\times10^{-12}\\ \mathrm{F/cm}\cdot0{,}779\\ \mathrm{V}}{1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}} \approx1{,}0064\times10^{7}\\ \mathrm{cm}^{2}.
  • Agora o termo dentro da raiz para W^{2}:
W^{2}=\frac{2\varepsilon_{s}V_{0}}{q}\cdot\frac{N_{A}+N_{D}}{N_{A}N_{D}} \approx1{,}0064\times10^{7}\cdot\frac{1{,}1242\times10^{17}}{1{,}242\times10^{33}} \approx9{,}118\times10^{-10}\\ \mathrm{cm}^{2}.
  • Portanto
W=\sqrt{9{,}118\times10^{-10}}\\ \mathrm{cm}\approx3{,}020\times10^{-5}\\ \mathrm{cm}.
Converter para nanômetros: 1\\ \mathrm{cm}=10^{7}\\ \mathrm{nm}, então
W\approx3{,}020\times10^{-5}\\ \mathrm{cm}\cdot10^{7}\\ \frac{\mathrm{nm}}{\mathrm{cm}} \approx3{,}02\times10^{2}\\ \mathrm{nm}=302\\ \mathrm{nm}.
  • Agora as larguras parciais usando as razões:
x_{n}=\frac{N_{A}}{N_{A}+N_{D}}\,W =\frac{1{,}242\times10^{16}}{1{,}1242\times10^{17}}\cdot3{,}020\times10^{-5}\\ \mathrm{cm} \approx3{,}337\times10^{-6}\\ \mathrm{cm},
o que em nm dá
x_{n}\approx3{,}337\times10^{-6}\\ \mathrm{cm}\cdot10^{7}\\ \frac{\mathrm{nm}}{\mathrm{cm}} \approx33{,}37\\ \mathrm{nm}\approx33{,}4\\ \mathrm{nm}.
x_{p}=W-x_{n}\approx3{,}020\times10^{-5}\\ \mathrm{cm}-3{,}337\times10^{-6}\\ \mathrm{cm} =2{,}6863\times10^{-5}\\ \mathrm{cm},
em nm:
x_{p}\approx2{,}6863\times10^{-5}\\ \mathrm{cm}\cdot10^{7}\\ \frac{\mathrm{nm}}{\mathrm{cm}} \approx268{,}63\\ \mathrm{nm}\approx268{,}6\\ \mathrm{nm}.
Verificação rápida: x_{n}+x_{p}\approx33{,}4+268{,}6=302\\ \mathrm{nm}, consistente.

Resposta

a) N_{A}=1{,}24\times10^{16}\\ \mathrm{cm}^{-3}\n
b) x_{n}=33{,}4\\ \mathrm{nm}\n
x_{p}=268{,}6\\ \mathrm{nm}

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